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带自旋的粒子。
……庞加莱群描述一个类点物体的相对论运动。类似地，巴格曼群描述非相对论运动。动量的各分量作为纯几何量出现。这是物理学的几何化。
物理学家熟悉能量 E 和冲量矢量 p。但他们可能会对另外两个对象感到有些困惑：平移 f 和自旋矢量 l。动量各分量的形式取决于坐标的选择。
……每个动力学群都有自己的动量空间以及该动量空间上的余伴随作用。如果我们一开始不选择相对论世界（庞加莱群），而是选择非相对论世界，我们就必须诉诸巴格曼群。计算细节见我的群论讲义。
巴格曼群是伽利略群的一个非平凡扩张：
(272)
正如读者所见，这个群作用在一个五维空间上：
r：空间
t：时间
z：一个附加变量。
……这些关于附加变量的问题将在后面处理。在本站点上，上面已经给出了庞加莱群余伴随作用的完整计算。人们也可以推导巴格曼群在其动量上的余伴随作用的计算。矛盾的是，非相对论世界中的计算比相对论世界中的计算还要复杂一些。
结果如下：
(273)
物理学家辨认出一些熟悉的对象，比如速度：
(274)
以及动能：
(275)
m v 是冲量。
相对于什么的速度？
一个群改变运动的参数，赋予粒子一个速度 v 和一个动能 E。
我们可以选择相反的解释，认为一个群是看待某物、看待一个粒子的特殊视角。
如果我们考虑群 SO(3)，矩阵 a，它意味着“从另一个角度被看到”。
如果我们考虑群 O(3)，矩阵 a，它增加了通过镜子观察“事物”的可能性。
欧几里得群的平移矢量
(276)
增加了“从别处被看到”。
在动力学群中，群中出现速度 v 意味着观察者在运动。
时间平移 e = Dt 意味着观察者在某个延迟之后看到该事物。
平移矢量 Dr 和时间延迟 Dt 可以合并为一个时空平移矢量：
(277)
看看这些公式，从巴格曼群我们看到：
m' = m
无论视角如何，质量不变。
让我们稍微简化这个“视角”，选择 a = 1。
余伴随作用变为：
(278)
……余伴随作用指示运动参数的变化。如果我们认为我们从稳态情形过渡到非稳态情形，初始条件对应于：
E = 0（零能量）
p = 0（零冲量，零速度）
“平移” f = 0
那么余伴随作用给出：
(279)
“考虑”必须按其词源意义来读。
一名执达员说：
- 起草一份勘验兼财产清单。
……一种静态的（v = 0）事物视觉，对应于欧几里得群。执达员在距离 c 处观察事物。他在事实发生时观察它们（Dt = 0）。最终他从某个角度观察（a 不同于 1）。
……一位将军乘飞机飞越战场，是某种执达员，他从一个运动的视角观察事物（从一架以速度 v 巡航的飞机上）。
……但一位将军在他的指挥部里，看着几个小时前由一架无人驾驶飞机、一架无人机拍摄的影片，说：
- 考虑目标，就像它一小时前那样（非零 Dt），从一个运动的观察点（非零 v）看，从五千英尺高度（非零 c）看，以速度 v 巡航，并通过某个角度拍摄照片（a 不同于 1）。
……一个目标没有确定的速度、位置或朝向，即使它被假定为一栋“固定”建筑。一切都是相对的。甚至地球、太阳、我们的星系都在太空中运动。
……地球的“北极”与太阳的“北极”相差 23°，并且由于岁差，它随时间变化（26,000 年）。太阳指示的北方（它自己的自转轴）不是我们的星系——银河系——指示的北方，后者有自己的旋转运动（相差 90°）。甚至一个星系也在运动，每小时三百英里。相对于什么？相对于其他星系。这就是我们所能说的一切。
群对应于两种不同的视角。
……如果我认为物体是稳定的、固定在空间和时间中，并且没有旋转运动，我所能说的就是：
- 如果我移动到距离 c 处。
- 如果我以速度 v 巡航时观察该事物。
- 如果来自该事物的信息以时间延迟 Dt 到达我这里。
相对于我：
---> 物体的质量不变。
----> 我给物体一个冲量 mv，视为表观冲量。
-----> 物体获得一个“平移” f = m [ c - v Dt ]
----> 它获得一个自旋
(279b)
用更明确的方式写出来：
(280)
(281)
(282)
或者：
(283)
人们可以把自旋矩阵 l 的三个独立分量看作一个矢量的分量：
(283b)
……尽管矢量积在我们的空间中没有被定义，也就是说：我们没有给空间一个左右定向，我们仍然可以把最后一个表达式看作一个矢量积。
(284)
……反向的 v 表示矢量积。我们看到，给出余伴随作用的公式的最后一行对应于：
(285)
l 是一个矩阵，不是矢量。但按照所选记号，粗体字母不加区分地表示矩阵或矢量。
这个矢量开始看起来像物理学家熟悉的东西：动量矩。
