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回顾庞加莱群的各分量：
E：能量
p：动量
f：通过
l：自旋矩阵。
为了贴近苏里奥的文本，我们称
-
Ln
为完全洛伦兹群 L 的中性分量 Ln 的元素。 -
Ls
为反转空间的那个分量的元素。 -
Lt 为反转时间的那个分量的元素。
-
Lst
为同时反转空间和时间的那个分量的元素。
C 为时空平移向量，我们得到庞加莱群的以下分量：
gp
( Ln , C) 为中性分量 Gpn 的元素。
gp
( Ls , C) 为反转空间的分量 Gps 的元素。
gp
( Lt , C) 为反转时间的分量 Gpt 的元素。
gp
( Lst , C) 为反转两者的分量 Gpst 的元素。
余伴随作用是：
(313)
P 是四维矢量：
(314)
我们有四个特征矩阵：
(315)
其中 l = ± 1 且 m = ± 1。
Ln
= L ( l = 1 ; m = 1)
Ls
= L ( l = - 1 ; m = 1)
Lt =
L ( l = 1 ; m = - 1)
Lst
= L ( l = - 1 ; m = - 1)
(316)
(317)
(318)
我们关注 C = 0
(319)
由此 l' = l
且 f' = l m
f
并且：
(320)
gp
( Ln , C)：I E --> E；p --> p
；f ---> f；l ----> l
gp
( Ls , C)：I E --> E；p --> - p
；f ---> - f；l ----> l
gp (
Lt , C)：I E --> - E；p --> p
；f ---> - f；l ----> l
gp
( Lst , C)：I E --> - E；p --> - p
；f ---> f；l ----> l
反转不改变自旋矩阵 l。
相反，T-反转与能量反转是同义的
E --->
-E
（我们可以称之为“E-对称”）
c自旋 s，作为自旋矢量 s 的模，只是一个数，不被群的所有分量的作用所改变，无论它们是正时的还是反时的。.
……粒子的静止能量是 mc2。
正如我们所见，质量反转与时间反转相伴。但空间反转不改变能量，也不改变质量。
苏里奥称完全庞加莱群的前两个连通分量为：
Gpn , Gps
正时分量（Gpn 是中性分量）。
以及另外两个：
Gpt , Gpst
反时分量。
这就产生了负质量的问题。它们存在吗？如果存在，具有相反质量和能量的粒子之间的碰撞会怎样：
- mc2 和
- mc2
……注意这并不对应于所谓的粒子-反粒子对的“湮灭”。从后者的碰撞中我们得到辐射能量，光子。
一个正能量粒子和一个负能量粒子碰撞的结果应该更加令人困惑，因为它应该是零：什么都没有。
……自然是什么，粒子是什么？在这种方法中，我们从一个给定的群出发：庞加莱群。然后我们构建这个群在其动量空间上的作用。这个动量空间由点组成。每个点是构成与群相关联的空间的几何对象之一的运动。
……在下文中我们将表明，庞加莱群无法承担粒子的所有特征。
……庞加莱群的维数是 10。
那么动量的维数也是十。
(321)
J = { E
, p , f , l }
如果我们选择一个与粒子相连的坐标系 f = 0。
总而言之，作为纯几何量从庞加莱群自然产生的唯一特征是：
对于零质量粒子：
- 其能量
- 其自旋和螺旋度
对于非零质量粒子：
- 其静止质量
- 其自旋。
其他特征：
-
电荷
-
重子数
-
轻子数
-
μ子数
-
τ子数
-
旋磁因子
以及这个粒子可能对应于物质或反物质世界的事实并不“包含”在庞加莱群中。我们将进一步丰富群来处理。
目前该群并不“构建”粒子和反粒子。但是，如果由其两个子集（两个正时分量加上两个反时分量）完成，它“构建”为不同的物种，正能量和负能量粒子。
……如果完全庞加莱群“统治”宇宙，那么正能量和负能量可能共存，从而相遇并产生完全湮灭现象。如果宇宙充满 50% 的正能量粒子和 50% 的负能量粒子，那么整个宇宙自我湮灭以至于什么都不剩的风险就很大：
-
没有正能量粒子。
-
没有负能量粒子
-
没有正能量光子
-
没有负能量光子。
什么都没有。什么都没有。真糟糕！
……正如苏里奥所建议的，上帝以其无限的智慧，只会创造正能量粒子和正能量光子。同样，他的天使会禁止使用庞加莱群的反时分量，这些分量会被严厉地关押在某处。
……我们将在未来的章节中思考另一种可能性。
