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特殊的伽利略群。
……读者可以在苏里奥的著作中找到这一扩展：《动力系统的结构》，Birkhasuer出版社1997年；以及法文版《动力系统的结构》，Dunod出版社1973年。
……一个群可以被扩展。这意味着它所依赖的参数数量将会增加。计算伽利略群所依赖的参数数量。我们从三维旋转矩阵开始：
(322)
它是一个正交矩阵：
(323)
这些矩阵构成群SO(3)，它是群O(3)的一个子群，而O(3)由所有正交矩阵组成。我们有：
(324)
回顾与下式的区别：
(325)
(325b)
是最一般的正交矩阵，其行列式满足：
(326)
本括号结束。
下一组(5,5)方阵将被称为特殊伽利略群：
(327)
旋转矩阵依赖于三个自由参数，即欧拉角。因此该群的维数为十。
使用记号：
(328)
我们得到：
(329)
与时空向量相关联：
(330)
因此空间伽利略群的相应作用为：
(331)
……给定特殊伽利略群，可以计算该群在其动量空间上的作用。此处不给出计算。读者可以在我的群论讲义中找到，讲义可获取。
让我们给出结果：
(332)
我们辨认出动量p和能量E。动量由以下组成：
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
……十个标量。群的十维。我们仍有平移向量f和反对称自旋矩阵l（由三个独立分量lx、ly、lz组成，构成“自旋向量”）。
特殊伽利略群的平凡扩展。
下一组矩阵构成一个新群。
(334)
它引入一个新分量f，一个标量，即“相位”（与量子世界相关）。群的维数变为
10 + 1 = 11
这个新群作用于一个五维空间：
(335)
z是一个“额外维度”。它最早由波兰人卡鲁扎于1921年引入，后由J.M.苏里奥于1964年引入（《几何与相对论》，Hermann出版社，未译成英文）。
在此同样可以计算该群在其动量空间上的相应余伴随作用。我们发现：
(336)
动量变为：
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
……我们多了一个标量m，并将其等同于质量。我们看到，作用于时空的特殊伽利略群将能量而非质量作为动量的一个分量带入。目前（通过平凡扩展），我们的粒子获得了一个额外属性，它被非常任意地等同于质量，并且不与动量的其他分量相互作用。
