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特殊伽利略群的非平凡扩张
巴尔格曼群（1960年）
以下矩阵
（参见我关于群的讲座）
(338)
构成一个群，由巴尔格曼于1960年发现。同样地，它作用于一个五维空间。由于标量 f 的存在，其维数为11。它是特殊伽利略群的一个非平凡扩张。
(339)
如果计算该群在其动量上的余伴随作用，可得：
(340)
……我们看到，这种余伴随作用更为精细，且质量与动量的其他分量发生相互作用。我们在上文已对此进行了分析，并展示了它如何赋予动量分量以物理意义。
……动量是给定粒子的运动。巴尔格曼群描述非相对论性运动。我们可以考虑一个静止的粒子，没有能量，没有冲量，没有自旋。仅有一个非零质量：
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
我们使用巴尔格曼群的以下元素：
(341)
动量的分量变为：
(342)
……在与粒子相连的坐标系中，平移 f 仍然为零。我们已经证明，自旋矩阵等同于动能动量。
……这里，重要的是考察特殊伽利略群的平凡扩张（为何称为“特殊”？这将在后文解释）。当进行这种平凡扩张时，它仅仅给动量增加了一个额外的标量。
让我们扩张庞加莱群：
庞加莱群的中心扩张
(343)
“ep”意为“扩张的庞加莱群”。Lo 是完整洛伦兹群 L 的正时子群 Lo 的元素。因此，我们可以将上述元素视为完整扩张庞加莱群的正时子群 Gepo，其元素为：
(344)
两者均作用于五维空间：
(345)
( t , x , y , z , z )。
可以证明，这种扩张在第一行中不能包含非零项，即在 1 和 f 之间必须是 0 = ( 0 0 0 )。
……正如 J.M.苏里奥（J.M.Souriau）所指出的，几何量子化方法（科斯坦特-基里洛夫-苏里奥方法）从巴尔格曼群导出薛定谔方程，从扩张的庞加莱群导出克莱因-戈登方程（《动力系统结构》，Dunod出版社，1972年）。此外，这种群的中心扩张给动量增加了一个额外的标量（如同巴尔格曼群的平凡扩张一样）：
(346)
Jep = { c , M , P } = { c , Jp }
Jp 代表经典的庞加莱动量。于是，动量的余伴随作用简单地变为：
(347)
计算并不复杂，与上文所示类似。我们计算反作用：
(348)
然后，对偶性通过以下标量的恒定性来表达：
(349)
……因此，我们得到一个额外的标量 c，它在余伴随作用下是守恒的。迄今为止，这个标量尚未获得物理诠释。我们将在下文澄清这一切。显然，我们可以根据需要任意多次地扩张该群：
(350)
每次扩张都会增加一个额外的标量
(351)
Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
余伴随作用变为：
(352)
读者可能会问：“好吧，我们为什么不增加57个新的标量呢？”
只需增加六个，并将这些新标量识别为
(353)
c 1 = q （电荷）
c 2 = cB （重子数）
c 3 = cL （轻子数）
c 4 = cm （μ子数）
c 5 = ct （τ子数）
c 6 = v （旋磁系数）
该群作用于以下十维空间：
(354)
( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z3 , z 4 , z 5 , z6 )
即：时空加上六个额外维度。
(355)
回顾一下，该群是由完整洛伦兹群 L 的正时子群
Lo = Ln（中性分量）U Ls（实现空间反演）
构建的。
动量变为：
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp 是对应于庞加莱群 Gop（正时子群）的动量部分。
其物理意义是什么？
……动量属于一个空间，这是一个 n-流形。庞加莱群拥有十个维度，因此庞加莱群的动量由十个量组成。
然后，我们给群增加六个更多维度，对应于额外的相位：
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
动量变为：
(358)
Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
我们决定，在标量集合
(359)
Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
中，识别出能量 E、动量 p、平移 f 以及自旋反对称矩阵 l。
……E 和 p 可以取所有可能的值，但量子论论证要求自旋矢量的模 s（在与粒子相连的坐标系中）保持恒定，这在此处未加证明，并对应于苏里奥的工作。
我们还有六个标量：
(360)
J1, J2 J3, J4, J5, J6
……我们决定，在无穷多种可能的选择中，某些离散选择对应于真实粒子（及反粒子）。于是，在对应于动量空间的16-流形中，我们选择对应于具有确定量子数的粒子的离散运动
(361)
{ q , cB , cL , cm , ct , v }
……目前，该群的余伴随作用仅确保这些量沿给定运动守恒。存在“被动量子数”，正如质量在源自特殊伽利略群的平凡扩张时表现为一个被动量一样。
