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狄拉克反物质的几何描述
……我们看到，$l = -1$ 改变了 $c_i$ 的符号，这对应于电荷共轭，即 C-对称性。
该群给出了狄拉克反物质（正能量、正质量反物质）的几何描述。
……当然，C-对称性不改变光子，因为其所有电荷本质上均为零。光子与其自身的反粒子等同。
费曼反物质的几何描述
……这一描述应当是 PT-对称的。如何在群中引入 PT-对称性？
参见：
J.P.Petit 和 P.Midy：“通过群在其动量空间上的余伴随作用实现物质与反物质的几何化。3：狄拉克反物质的几何描述。费曼反物质及所谓 CPT 定理的首个几何解释”。《几何物理 B》，3，1998年。
群的后续修改如下：
(388)
……它成为一个八分量群，因为洛伦兹群的时向保持部分有两个连通分支，因此 $2 \times 2 \times 2 = 8$。
这意味着我们添加了反时向元素：
(389)
上图：我们在群中添加了反时向元素。
下图：我们在动量空间中添加了相应的半扇区，对应于负能量运动。
简而言之：我们扩展了作用域，其变为：
(390)
在 (388) 中我们可以看到，($m = -1$) 的元素反转时空，实现 PT-对称性，并对应于：
(391)
L${st}$ = - L${n}$
L${t}$ = - L${s}$
动量空间中存在以下对称性：
(392)
计算群 (388) 在其动量上的余伴随作用得到：
(393)
……现在可以容易地考察每个分量对动量和运动的影响。我们将考虑一个参考运动和动量 J$_{+1}$，其对应于正能量物质（对正能量光子的影响将在第二步中分析）。所选元素所在的群扇区将以灰色标示。
接下来，是普通物质的运动。
$l = +1 \quad m = +1$
$lm = +1$
电荷保持不变。运动 $M_2$ 对应于 ($E>0$)、正质量、时向保持物质。
(394)
普通物质的运动。群中时向保持元素（$l = 1$）的作用。
电荷不变。
(395)
群中一个 ($l = -1; m = 1$) 元素对与普通物质运动相关联的动量的余伴随作用：新的运动对应于狄拉克反物质。
……该元素选取在灰色扇区中。它对应于一个“反元素”，将物质转化为反物质：$l = -1$ 反转附加维度的符号，这就是我们对反物质的几何定义。
