群与物理的伴随作用动量
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3 - 群的第三个公理：每个元素都必须存在一个逆元，记作 g⁻¹，满足：
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
在我们的例子中，这表示为：
即 b = -a，或：
g⁻¹(a) = g(-a)
……在这里，矩阵逆的计算显而易见。但情况并不总是如此。那么，什么样的条件才能保证所考虑集合中的每一张矩阵都存在逆矩阵（即矩阵可逆）？答案是：其行列式必须非零（读者可参考线性代数课程）。有一个定理指出：矩阵乘积的行列式等于各矩阵行列式的乘积。而行列式的定义本身表明，对角矩阵的行列式等于其对角元素的乘积。例如：
后果：所有单位矩阵 1 的行列式都等于 1。因此：
det(g) 与 det(g⁻¹) 的乘积等于单位元 1 ≠ 0
后果：行列式为零的矩阵不可能存在逆矩阵，这将违背逆矩阵的定义。此外：
4 - 群的第四个公理：复合运算必须满足结合律：
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
这总是成立的……
群的维数：
……关于群（矩阵群）的“维数”问题，这里稍作说明。群的维数与构成它的矩阵的秩，或与该群作用的“空间”的维度（例如二维空间 (x,y)，或四维时空 (x,y,z,t)）毫无关系。
……我们这里有一个例子：一组仅含一个参数 a 的方阵，恰好构成一个群。稍后我们会看到由 n 个参数（如六个、十个、十六个，或任意数量）定义的方阵群。
定义群中矩阵所依赖的参数个数，称为该群的维数。
我们这里面对的是一个由单参数 a 的矩阵族构成的群。该群的维数为 1。
顺便指出：
注释：
……群，尤其是我们所关注的群，并不自动具有交换性。实际上，交换性反而是例外。我们的例子中的群恰好是交换的：
……您可能已经认出，这个群就是二维空间中绕固定轴的旋转矩阵。在“实际”操作中，这种变换“显然”是交换的：绕某一轴先旋转角度 a，再旋转角度 b，
或者
先旋转角度 b，再旋转角度 a，
结果是一样的。
您可能会说：“这很正常，旋转群本质上是交换的。”
……这是错误的。这仅是二维情形的性质。在三维中，情况不再成立。考虑一个特殊的群：由绕三个正交轴（OX、OY、OZ）的旋转组成的群。
练习：请取一个物体，依次执行以下操作：
- 先绕 OX 轴旋转 +90°，
- 再绕 OZ 轴旋转 +90°，
然后，将这两个旋转顺序颠倒，即：
- 先绕 OZ 轴旋转 +90°，
- 再绕 OX 轴旋转 +90°，
你会发现结果不同。这一操作是非交换的。
群的作用
……群 G 由一组方阵构成。我们首先可以认为它作用于自身（详见下文关于“群作用”公理的定义，这是一个核心概念）。
……我们的例子中的群也可以作用于二维空间中的点。我们可以说它使这些点发生旋转。群的本质是“传输”，但究竟传输的是什么？
……事实上，真正重要的是“传输的方式”，而非“被传输的内容”。正如 J.M. Souriau 在其著作《自然的语法》中所言：
传输的方式，远胜于被传输之物。
在我们这个例子中，矩阵作用于二维空间 (x,y)，对应的作用可表示为：
若设（列向量）：
则该作用可简洁地写为：
g × r
……在此特例中，群在 (x,y) 空间上的作用等同于矩阵乘法。但我们想强调的是，这只是一种特殊作用；而“作用”这一概念在物理学中具有更广泛、更基本的意义。