群与物理学的伴随作用动量
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平移群：
...考虑二维空间 (x,y)。在此空间中，平移对应于一对标量 (Dx, Dy)，通常写作
x' = x + Dx
y' = y + Dy
我们使用的是“加法”。能否设法用……乘法来表示平移？
考虑如下矩阵：
以及群的作用：
注意，这已不再是简单的矩阵乘法
g × r
而是“群的作用”：
顺带地，我们也可以考虑三维、四维乃至更高维度的平移：
相应的群作用为：
...此外，平移群是交换群，单位元是“零平移”。在三维空间中，该群的维度为三；在四维空间中，维度为四。
矩阵群的意义。例如：欧几里得群。
...矩阵群的意义在于，我们可以同时处理原本看似本质不同的事物，例如旋转与平移。只需考虑如下矩阵：
并让群的元素矩阵作用于列向量，便可发现这等价于一个角度为 a 的旋转，以及沿向量 (Dx, Dy) 的平移。
...如上所示，矩阵 g 并不“直接”作用于该二维空间中的点 (x,y)，而是通过所谓的“群作用”来实现，这种作用遵循某些公理。
...因此，群“作用”并“传输”点，这正是欧几里得群。它关联于二维空间 (x,y)，由三个参数定义：g(a, Dx, Dy)，因此该群的维度为 3。具体而言：
g(0, Dx, Dy) 表示平移子群。
g(a, 0, 0) 表示绕原点的旋转子群。
g(0, Dx, 0) 表示沿某一直线（OX 轴）的平移子群。
...欧几里得群传输的是本身不具属性的点（而动力学群则赋予一个“质点”诸如质量、能量、动量、自旋等“属性”）。
...借助欧几里得群，我们必须考虑点的集合。就像在化学中，原子彼此不可区分，只有分子的几何构型才携带信息。
...一个几何图形，如三角形（视为三个点或三条线段的集合），正方形（视为四个点或四条线段的集合），都可以被该群传输。这正是“种类”这一基本概念的由来。两个“物体”若存在群中的某个元素可使它们彼此重合，则称它们属于同一“种类”。
对于欧几里得群而言，边长相同的正方形构成一个种类：
同种类的正方形。
...若边长 a 与 b 不同，则这些物体不属于同一种类。不存在群中的元素能将一个变为另一个。对于欧几里得群而言，
这些正方形不属于同一种类。
欧几里得群不允许“相似变换”（缩放）。若要处理此类变换，需转而使用笛卡尔群：
四参数群 g(λ, a, Dx, Dy)，其中 λ 为缩放系数。因此该群的维度为 4。
由此可想象，欧几里得群也可作用于三维物体。
...我们并非要展开一整套群论课程，而只是希望体会一些基本思想。什么是动物学？一门研究动物并对其进行分类的科学。若仅从形状出发，欧几里得群可对成年兔子进行分类。但若要将不同体型的兔子归为同一类，则需借助笛卡尔群，因为三维欧几里得群中不存在能将小兔子变为大兔子的元素。
...你笑了？你错了。你家中或许正有一个正在学习的宝宝，正坐在角落玩耍。你给了他一个经典玩具，他正努力将各种形状的物体塞进一个形状盒中：圆柱体、立方体或三角柱体。
...他在做什么？他在熟悉三维的欧几里得群。他按“种类”对物体进行分类，这将帮助他日后识别物体，实现“形状识别”。
...尽管这些物体颜色不同，但宝宝会验证：确实存在群的作用（即在三维空间中移动这些物体），使得圆柱体 A 与圆柱体 B 能通过盒中“凹形孔”完全重合——这个入口正是对应于圆柱体或棱柱体的“形状轮廓”。他由此学会：从形状（欧几里得群）的角度看，圆柱体 A 与 B 属于同一种类。
