群与物理学中的伴随作用动量
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一个 (n,n) 阶方阵作用于一个 (n,0) 阶列向量。我们已经看到，二维欧几里得群（参考空间 (x,y)）并不涉及对列向量的作用：
(51)
而是作用于如下列向量：
(52)
这构成了群在空间 X 上作用的一个例子，其中 x ∈ X。存在无穷多种可能的作用，即使仅仅考虑群自身上的作用。作用由公理定义。
(53)
考虑列向量：
(54)
其中 x 可以表示如下向量：
(55)
(56)
这些满足群作用的公理。于是我们可以尝试将表示群元素的方阵左乘于一个行矩阵 y，并思考这是否也是一种作用。
(57) Ag(y) = y x g
答案是否定的。这不是一个群作用：它不满足上述给出的公理。于是，我称之为“反作用”，其遵循如下“反公理”：
(58)
数学家会说，完全没有必要引入这些“反作用”，因为只需一套公理即可。确实如此。同样，所谓“反作用”：
(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
其中 m 是给定的向量，“群 G 中元素 g 对矩阵 m 的反作用”，g⁻¹ 表示矩阵的逆，可以视为元素 g⁻¹ 的正常作用。
同样，反作用不过是正常作用的对偶。我认为引入这个概念在教学上较为方便。
从一个依赖于 n 个参数 π 的方阵群出发，可以通过对所有参数求微分 dpi 来构造矩阵。由此得到的矩阵，其元素为 dpi，虽然不构成群，但被称为“群的切向量”：dg（其“李代数”，顺便说一句，严格来说它也不是真正的代数，但暂且不论）。
因此，群可以在群的单位元 e 附近对“切向量” dg 作用，通过“反作用”：
(60) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
于是得到如下图示：
(61)
然而，反作用正是作用的对偶。而当存在对偶关系时，某种内积 S 保持不变。
因此，苏里欧（Souriau）试图构造“群的第二种作用”——即群在其“动量空间”上的作用。但这种被称为“伴随作用”或“本质作用”的作用无法直接出现。他必须经过一个中间步骤，即我所称的“群在自身切向量上的反作用”。
因此，所寻求的作用作为群在切向量上反作用的对偶而浮现。而反作用的对偶，正是一个作用，其表达式为：
(62) Ag(J)
其中 J 是“动量”：一组构成“质点”属性的量，该作用（称为“伴随作用”）描述了这些属性在运动过程中的变化方式。
存在一个群，将在后文给出，它是伽利略群的推广，同样将在后文给出，称为巴格曼群（Bargmann, 1960）。通过将此方法应用于该群，我们可以构造其动量 JB 以及群如何作用于它。
苏里欧常说道：
“动量如同运动的影子，始终追随其后。”
这是一幅优美的图像，出自他的著作《自然的语法》。质点确实在时空 (x,y,z,t) 中运动，其属性随之演化，这正是通过群在其动量空间上的伴随作用来描述的。