群和物理伴随作用动量
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我们不会写出巴格曼群的动量分量。简要地，我们将巴格曼群的动量写成如下形式：
JB = { 一个标量 m，加上其他动量分量 }
伴随作用 表示动量的不同分量如何变换。但这个伴随作用首先是从一个简单的关系开始的：
(63) m' = m
巴格曼群在其动量上的伴随作用首先保持质量不变，因此质量呈现出一种纯粹的几何地位。
构造洛伦兹群在其动量空间 Jp上的伴随作用。
如果您已经完全迷路了，那就放弃吧。这是正常的，而且随着页面的推进，会越来越难。此时，我不太确定接下来的内容是给谁看的。可能是理论物理学家或数学家，但很可能不是水管工。但一个高等学院或物理本科的学生，如果坚持下去，是可以跟上的。这不过是一些矩阵。
一切从一个 (4,4) 矩阵群开始，它构成了洛伦兹群，其元素为 L。
这些矩阵通过一个矩阵 G 被公理化定义：
(64)
根据：
(65) tL G L = G
其中涉及矩阵 L 的转置。
这些矩阵 L 构成一个群。
证明。
单位元是 L = 1：
设 L1 和 L2 是集合中的两个元素。验证它们的乘积 L1L2 是否属于该群。如果是的话：
t( L1L2 ) G L1L2 = G
但是：
t( A B ) = t B t A
因此：
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
接下来计算矩阵 L 的逆。我们从元素 L 的公理化定义出发：
tL G L = G
我们将其右边乘以 L-1：
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
我们再在左边乘以 G：
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
因此，矩阵 L 的逆为：
L-1 = G tL G
即：
(66)
时空向量。矩阵 G 来自闵可夫斯基度规，可以写成（c = 1）：
(67)
练习：证明矩阵的逆满足：
(68)
然后我们引入一个时空平移向量：
(69)
从这个向量出发，我们构造洛伦兹群的元素 gp：
(70)
练习：证明这构成一个群并计算矩阵的逆：
(71)
接下来是“群的切向量，其“李代数”的元素”：
(72)
从这里我们可以计算反作用：
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
为了计算方便，我们注意到：
(74) G d L
是一个反对称矩阵。我们称其为：
(75)
因此：
(76)
令：
(77)
从这些材料中，我们构造反作用：
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
经过所有计算后，我们将得到如下映射：
(79)
如果您想跳过这部分简单的矩阵计算，请参见下面的方程 (80)
(79a)
(79b)
由此得到反作用的元素：
(79c)
但是：
(79d)
因此：
(79e)
但是 GG = 1，所以：
(79f)
由此得出映射：
(79g)
这就是我们所求的反作用，即：
(80)