群与物理的余伴随作用动量

群和物理共伴随作用动量

(91)

这种共伴随作用可以用矩阵形式表示。

庞加莱群的矩阵是：

(92)

它的转置矩阵是：

(93)

考虑矩阵：

(94)

也就是说，我们将动量

(95) Jp = { M , P }

表示为矩阵形式，并构造乘积：

(96)

(97)

(98)

我可以将其识别为矩阵：

(99)

因此，Jp 是庞加莱群的动量，以矩阵形式表示。共伴随作用可以写成：

(100)

作为练习，读者可以基于公理验证这确实是一个作用。

庞加莱群的动量可以明确表示如下：

(101)

这个矩阵是反对称的（这意味着其主对角线由零组成）。M 是矩阵：

(102)

明确表示如下：

(103)

这确实是一个反对称矩阵，从一开始就假设的，它依赖于六个参数：

(104)

( lx , ly , lz , fx , fy , fz )

后三个（ fx , fy , fz）是一个向量的分量，即向量-**位移 f **：

(105)

前三个（ lx , ly , lz）是一个反对称矩阵（3,3）的独立分量，即**旋量 l **：

(106)

因此：

(107)

向量 P 是四维动量-能量向量：

(108)

**

然后可以明确表示庞加莱群的动量，其一般形式如下：

(109)

**

可以验证它确实是一个具有十个分量的对象（数量等于群的维数）。

(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}