群与物理学共轭作用动量
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自旋粒子。
庞加莱群描述了一个点状物体的相对论运动。类似地，巴格曼群（其表达式将在后面给出）描述了一个点状物体的非相对论运动，这时我们称之为“质点”。
因此，我们看到这种技术，即计算群在动量空间上的共轭作用，使得隐藏的元素、物体的属性——动量的“分量”——浮现出来。
值得注意的是，这种由苏里亚（Souriau）提出的方法，将物理学家的关键对象视为“纯粹几何对象”。因此，他完成了前所未有的“物理几何化”工作。
除了能量和动量之外，其他分量，如“旋转”和“位移”，让物理学家感到相当困惑。这是什么？
显然，动量分量的表达式取决于所选择的坐标系。
也许最简单的方式是简要回顾非相对论情况，即巴格曼群的共轭作用的表达式。
(111)
神秘的公式。它有什么用？它是如何运作的？
在上面的框中，物理学家会认出一些熟悉的对象：
(112)
它们只是速度向量 { vx , vy , vz } 的两种表达方式，一种是列矩阵形式，另一种是行矩阵形式。两者的乘积是一个标量：
(113)
这开始看起来像动能。
m v 是动量。
传统的物理学家在谈及质点动力学时，只知道三件事：
- 质量 m
- 动量 m v
- 动能 1/2 mv²
是的，但“相对于什么的速度”？
一个群也是一种“看待事物的方式”。因此，我们可以认为，利用群，将物体相对于一个假设固定的观察者进行“搬运”，或者，如果物体固定，我们则以另一种方式观察它。
如果采用这种“搬运”、“移动”物体的方式，对于“动力群”（物理学中的群，与不包含时间的欧几里得群相对），我们也可以说我们“赋予”了物体速度 v 和能量 E 。
如果我们采取相反的观点：认为物体是固定的，而我们自己在移动，那么群又意味着什么？
欧几里得群意味着：
“从别处、以另一个角度看待”。
“别处”是“平移向量”：
(114)
“以另一个角度看待”是旋转矩阵 a，即空间中的旋转（可以用欧拉角来明确表示，但我们将不这么做）。
对于动力群，这种“看待事物”的视角需要进一步丰富。在巴格曼群的框架下，引入速度 v 意味着，除了观察者从别处（平移向量 c）和另一个角度（旋转矩阵 a）观察这个质点之外，他还相对于这个静止的质点具有速度 v 。
为了完整起见，为了增加复杂性，他所处的时间与被观察的质点不同，相对于该质点，他滞后了时间 Dt。换句话说，他从别处观察，但这个“别处”是时空上的别处，对应于时空平移向量：
(115)
当我以这种方式“后退”观察这个质点时，我首先注意到：m' = m
这不影响它的质量。
我可以简化情况，取消旋转。毕竟，从别处、从另一个时间、骑着一个以速度 v 运动的滑板观察一个质点已经够复杂了，是否还需要额外扭曲脖子？
不需要。我们让 a = 1。
但通常在计算中会忽略这个细节。这样特定化的共轭作用变为：
(117)
此处“考虑”应理解为词源意义。当我“考虑”一个情境、天空、战场、或由侦察机拍摄的影片时，我在做什么？
一名公证人会写道：
- 考虑现场状况……
这是静态视角，对应于欧几里得群。公证人以距离 c 观察物体，同一时间（Dt = 0），原则上静止（ v = 0）。如果有必要，可能从特定角度观察。
一名将军在侦察机上巡视，就像一个移动的公证人（v ≠ 0）。
但一个参谋总长在观看由“无人机”拍摄的影片时，面对的是一种时间上滞后的情境。他必须意识到：
- 考虑目标，从某一点以倾斜转弯的方式、以某速度观察，并且是两小时前的样子……
目标本身并没有特别的速度。即使它是一个“固定设施”，也不能简单地认为它是静止的。地球在移动，太阳也在移动，银河系也在移动，等等。