群与物理学的伴随作用动量
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庞加莱群的四个分量。
从洛伦兹群可以构造出已提及的庞加莱群：
(142)
C 是“时空平移”向量。
(143)
庞加莱群也将具有四个分量，每个分量对应于洛伦兹群的相应分量。
上图展示了群在其运动空间上的作用。但更有趣的是，这四个分量对“动量”的作用。参见：Souriau，《动力系统结构》，Dunod 1973（英文版由Birkhauser于1997年出版），第三章，第197页，标题为：空间与时间的反演。
回顾与庞加莱群相关的动量分量：
E：能量
p：动量
f：通过量
l：自旋（旋转）
为贴近Souriau的记号，我们记：
- Ln 为洛伦兹群的中性分量；
- Ls 为反演空间的分量；
- Lt 为反演时间的分量；
- Lst 为同时反演空间和时间的分量。
C 为时空平移，因此庞加莱群的四个分量为：
gp ( Ln , C)：中性分量
gp ( Ls , C)：空间反演
gp ( Lt , C)：时间反演
gp ( Lst , C)：空间与时间同时反演。
我们来考察这些变换对动量分量的影响。需考虑群在其动量空间上作用的公式：
(144)
P 是四维向量：
(145)
我们可以写出需要分析的矩阵：
(146)
其中 l = ±1 且 m = ±1。
Ln = L( l = 1; m = 1)
Ls = L( l = -1; m = 1)
Lt = L( l = 1; m = -1)
Lst = L( l = -1; m = -1)
(147)
(148)
接下来考察对自旋与通过量的作用。
(149)
但在我们关心的情形中，C = 0
(150)
因此 l' = l 且 f' = l m f
由此得出：
(151)
gp ( Ln , C)：E → E；p → p；f → f；l → l
gp ( Ls , C)：E → E；p → -p；f → -f；l → l
gp ( Lt , C)：E → -E；p → p；f → -f；l → l
gp ( Lst , C)：E → -E；p → -p；f → f；l → l
反演操作从不改变自旋 l。
然而，时间反演与能量反演 E → -E 是等价的。
当自旋被量子化时，它等价于自旋。任何反演都不会改变它。
（作为粒子自旋矢量模长的自旋，只是一个数值。）
静止粒子的能量为 mc²。
时间反演等价于质量 m 的反演。
空间反演不改变质量。
Souriau 将前两个分量称为“同伦的”（orthochrones），后两个称为“反伦的”（antichrones）。
他指出，这一切引出了负质量的问题，这令物理学家普遍感到困扰。毕竟，当两个分别具有能量 +mc² 和 -mc² 的粒子相遇时，会发生什么？
会发生完全湮灭。这并非普通的物质-反物质湮灭（后者产生光子），而是一种产生纯粹“无”的现象。
为避免负质量带来的困境，Souriau 提出了两种解决方案：第一种是干脆断定负质量粒子不存在；第二种是排除反伦变换。
换言之，我们可以说：
- 上帝，以其无限的智慧……
继续构建我们自身研究工作的基础要素。