群与物理的伴随作用动量
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庞加莱群的中心扩张。
在J.M.苏里奥的著作《动力系统结构》中提到了这种扩张。他所采用的几何量子化方法，能够从群出发，推导出量子力学方程。例如，描述非相对论质点的巴格曼群，导出了非相对论的薛定谔方程。
其出发点是伽利略群。这是一个5×5的矩阵，构造方式如下：
(152)
旋转矩阵依赖于三个参数，即欧拉角。因此，该群的维数为十。
使用如下记号：
(153)
(154)
对应时空：
(155)
尽管看起来有些奇怪，但该群在其动量空间上的伴随作用构造中，并未显现出质量m作为一个几何对象。这只有通过该群的非平凡扩张——巴格曼群（1960年）才能实现。
(156)
标量f的引入使该群的维数增加了一维：变为十一维。
该群作用于一个五维时空空间，外加一个额外的维度z，其作用形式为：
(157)
前面已给出巴格曼群在其动量空间上的伴随作用。可以看出，通过添加标量f（即增加群的一维），动量中也相应增加了一个分量，该分量可被识别为质量m（同时质量守恒：m' = m）。
从巴格曼群出发，并利用其几何量子化方法，苏里奥便能构造出非相对论的薛定谔方程。
相对论性量子方程是克莱因-戈登方程。因此，自然地，人们会试图寻找它所源自的群。这就是中心扩张：
(158)
“pe”代表“扩展的庞加莱群”。这里我们是从洛伦兹群Lo的正则子群出发构造庞加莱群。
该群所对应的时空空间同样是五维的：
(159) ( t , x , y , z , z )
这种扩张比巴格曼群的扩张更简单，但事实上相对论情形下问题总是更简单些。顺便可证明：在第一行的1和f之间，唯一可能的是行向量 0 = ( 0 0 0)：即全为零。
于是，几何量子化方法便导出了克莱因-戈登方程。当讨论群在其动量空间上的作用时，我们得到如下结果：
(160)
Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
计算并不复杂，实际上完全复制了庞加莱群在其动量空间上伴随作用的计算过程。
我们先计算反作用：
(160 b)
然后表达标量积（对偶性）的不变性：
(160 c)
如果你能顺利完成这个计算，那将是一个非常好的迹象，意味着你已经开始进入这个复杂的领域。
于是出现了一个标量c，其唯一功能是保持不变。它代表什么？没有解释。它只是“某种守恒量”。我们可以赋予它例如电荷的物理意义。
一个自然的想法是多次实现这种扩张：
(161)
后文将证明，这种操作可以无限次进行，每次增加一个额外的标量：
(162) Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., M, P }
Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., Jp }
其伴随作用为：
(163)
我们随后将认为动量分量的某些离散值对应于粒子的电荷。
读者可能会说：确实，我们也可以添加六行额外的行。这样就能得到若干守恒标量，可分别对应于：
(164)
c₁ = e（电荷）
c₂ = cB（重子数）
c₃ = cL（轻子数）
c₄ = cm（μ子数）
c₅ = ct（τ子数）
c₆ = v（磁矩系数）
只需考虑一个十维空间上的群及其相应作用：
(165) ( x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆ )
(166)
再次，我们围绕洛伦兹群Lo的正则子群构建该群：
Lo = Ln（中性分量）» Ln（空间反演）。
这个具有两个连通分支的群，仅简单地引入了六个标量，它们伴随粒子但不与其他任何东西相互作用。动量变为：
(167) Jpe = { q, cB, cL, cm, ct, v, Jp }
其中 Jp 代表“庞加莱部分”。但这种构造的实际意义仍然有限。