群与物理的伴随作用动量
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回顾动量问题。
我们已准备好展开一次冒险，即写下简单的矩阵，构造一个依赖于若干参数的群，并使其作用于一个具有特定维度的空间（此处为十维）。接着，像牛耕田一样（“boustrophedon”意为牛耕田，即来回耕作），我们计算了该群在自身动量空间上的著名“伴随作用”，并定义了该空间，其属性、分量，以及伴随作用如何作用于这些分量，我们试图为这些内容赋予某种“意义”和“物理解释”。
让我们暂时回顾一下走过的道路，重新审视一个看似形式上更复杂的群：
(168)
它给出了如下伴随作用：
(169)
这一作用立刻显现了该“点状物体”或“质点”的各分量：
(170)
JB = { E , m , p , f , l } JB = { E , m , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz }
无论如何，我们从一开始就知道，这个神秘的动量必须由十一个标量组成，因为其数量应等于群的维度，而该维度恰好也是十一个。再看巴格曼群的矩阵元素：
(171)
a 是一个“正交矩阵”，即“旋转矩阵”或“与三维空间旋转相关”的矩阵。我们曾在二维情况下明确写出过它。那时，该矩阵仅依赖于一个参数——旋转角 a。
在三维中，它将依赖于三个参数，即欧拉角：
a b g
速度矢量 v 提供了三个额外参数：
vx vy vz
空间平移 c 引入了另外三个参数：
Dx Dy Dz
时间平移则增加一个参数：e = Dt
总计：十项。
再添加一个神秘的第十一个参数：f，与量子世界相关。不错……
总计：十一个。因此，这是一个具有十一个分量的动量，我可将其写成如下形式：
(172)
JB = { J1 , J2 , J3 , J4, J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
通过全面计算，我发现了这些动量分量之间的联系，它们如何相互关联、组合成：
- 标量（E 和 m）
- 矢量（p 和 f）
- 矩阵：l
这就像我说：一个人有一个头，两条手臂，两条腿。但他是如何移动的？这些“组件”之间是如何“连接”的？
随后，伴随作用进一步明确了群如何作用于这些动量元素：
(173)
在该表中，我们立刻注意到，在这个著名的动量中，存在一个分量 m（我们本可保留其初始的任意名称：J2），它是一个简单的标量，不受该群作用的影响。
于是我们想到，这种性质正好符合我们对非相对论世界中“质量”m 的理解。
这些动量公式为我们提供了所谓“属性”或“动量分量”的数值，这些分量与“质点”相关：我们追踪物质在各种状态下的表现：当它被旋转（a）、空间平移（c）、时间平移（e）、具有速度 v，以及以神秘量 f 在同样神秘的第五维 z 方向上移动时——我们被告知“这一切都与量子有关”。
好吧……
动量通过伴随作用发生变换。它从一个“状态”：
(174)
转变为另一个“状态”：
(175)
那么，为何不考虑一种“基本状态”，即：
(176) JB = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 } = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 }
并认为伴随作用将由此产生我能够识别的属性？
但我意识到，至少必须包含质量 m，因为伴随作用不会改变它。如果我将其设为零，它将保持为零。因此，我必须从基本对象出发：
(177)
JB = { 0 , m , 0 , 0 , 0 } = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }
这个对象“没有能量”。是群的作用赋予了它能量。同样，它也获得了动量、平移和转动。
一种“动能”：
(178)
一种“动量”（物理学家会说“动量”或“运动量”）：
(179) m v
一种“转动”，类似“自旋角动量”，仿佛我们的质点可以自身旋转（这在小金属球体中是可能的，质量为 m，小到可视为点状物体）：
(180)
仍然存在一个对物理学家极为困惑的物体——“平移”。当 E 作用于我的质点时，我赋予它一个“平移属性”，而它原本并无此属性，其分量为：
(181)
群矩阵的所有分量均被视为独立量。这是“最一般的变换”。
最终，当对一个人施加作用时，他可能被“移动”并“处于各种状态”。
在这里，这代表最一般的变换：我们的质点可能：
- 被旋转：a
- 被空间平移：c
- 被时间平移：e
- 具有速度：v
- 以神秘量 f 在同样神秘的 z 空间中移动。
即：
- 在距离 c 处被观察
- 由一个具有速度 v 的观察者观察
- 从角度 a 观察
- 根据一个在 e = Dt 之前或之后拍摄的电影记录
- 从一个“第五视角”空间 z 出发，观察者神秘地“平移了 z”
所有这些都被认为“等价于同一事物”。