群与物理的伴随作用动量
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我们已经看到，根据第一种思路，可以消除过渡 f：设想质点以速度 v 远离（或靠近，总之以速度 v 运动），在时间间隔 e = Δt 内产生位移 c = v Δt。
从相反的角度来看，这将是观察者以速度 v 移动，在时间间隔 Δt 内走过路径 c = v Δt。
因此，我们不妨忽略这个过渡，因为它总可以通过“伴随粒子的运动”来消除，从而将速度 v 与路径 c 联系起来。
从数学上看，这仅仅是一个子群，即平移群，我们曾错误地试图将速度、时间与路径联系起来，使得船上的航程计、计时器和速度表的刻度并非完全独立。
这在物理上是合理的。
然而，仍存在这些神秘的地下运动，以及在额外维度 z 上附加一个量 f 的现象。“量子地下世界”，这是柏拉图投影灯的某个方面，我们本应无法触及。
好吧……
现在我们回到管理相对论质点运动的群——庞加莱群。
(182)
标准的“正向”版本。其动量为：
(183) Jp = { M , P } = { M , p , E }
(184)
计数：共十个。但我也可以写成：
(185)
Jp = { J₁, J₂, J₃, J₄, J₅, J₆, J₇, J₈, J₉, J₁₀ }
我已经构建了伴随作用。我感受到这个新的“质点”如何以相对论方式被传输。我知道在这些动量分量中有一个标量，称为能量 E。但质量已经消失了。或者说，它已被能量吸收。
质量和能量已变成同一实体，称为“质能”。因此，仅用一个标量来描述这种“状态”是合理的。
此时，我又产生疑问：是否存在某种“基态”（当然，这种基态也是相对的，相对于一个自认为也处于同一“基态”的观察者而言）？
我已得到伴随作用的表达式：
(186)
对于第一行，详细展开如下：
(187)
如果这是一个非零质量的粒子，我可以设想在这一相对的基态中，其初始动量可能为零。这将是一个“静止粒子”，因而具有“静止能量” E₀：
因此，我可以通过作用庞加莱群中的元素（洛伦兹变换）来赋予该粒子动量，如下所示：
(188)
该操作对于“零质量粒子”（如光子或中微子）而言是不可想象的，因为它们以光速 c 运动，即“始终在运动”。它们永远无法静止，始终具有动量 p，而该动量又与它们的能量 E 相关联。
非相对论物理学家可能会觉得奇怪：一个质量为零的粒子竟然仍具有动量。
但相对论物理学家会说，这只是一个数学对象，他将写下：
(189)
并对此毫不在意。
剩下的第二条关系式：
(190)
若可能，我们尝试解读它。
C 是时空平移（Dx, Dy, Dz, Dt）
(191)
继续详细展开。
(192)
(193)
(194) (195)
咦！这正是前一个公式的转置。
数学家会说，这显而易见，根据以下定理（请自行作为练习推导）：
设两个矩阵的维数允许相乘，则有：
(196)
两个矩阵乘积的转置，等于第二个矩阵的转置乘以第一个矩阵的转置（顺序颠倒）。
