f4505 通过群在其动量空间上的共伴作用对物质和反物质进行几何化。4：双群。狄拉克反物质的几何描述。费曼之后的反物质几何解释及所谓的CPT定理。(p5)
方程(16)是对李代数元素的作用，对应于群。共伴作用是该作用的对偶，并基于一个标量的不变性。我们称这个标量为S，从该标量我们可以计算群在其动量上的共伴作用。我们从标量计算群g3的共伴作用：
(17) c dJ + S
群g3在其动量上的共伴作用为：
(18) (4529)
群g3的动量为：
(19) J = { c , 群G的动量 }
群的扩展在动量中增加了一个分量c，它服从(20)。特别是，如果，即：
(20) (4531)
它的共伴作用为：
(21) c' = l m c
(22) (4532)
(23) (4533)
方程(22) + (23)对应于当L是洛伦兹群的中性部分时的庞加莱群的共伴作用。
我们知道我们可以将庞加莱群gp的动量Jp放入一个反对称矩阵中：
(24) (4534)
它对这个动量的作用为：
(25) (4535)
然后我们可以写成：
(26) **J **= { c , Jp }
以及：
(27) (4536) c' = l m c
庞加莱群的维度是十。这个扩展群的维度是十一，因为添加了新的变量f。(l = ±1)和(m = ±1)并不代表群的新维度。
这种方法可以无限扩展。考虑以下矩阵：
(28) (4537)
庞加莱群有十个维度。集合(f1,f2,f3,f4,f5,f5)增加了六个额外的维度。标量(l1,l2,l3,l4,l5,l5)是固定的，并不代表新的维度。
群在其动量上的共伴作用
(29) J = { c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , Jp }
为：
(30) (4538) c'i = li m ci，其中i = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
参考文献。
[1] J.P.Petit & P.Midy : 通过群在其动量空间上的共伴作用对物质和反物质进行几何化。1：作为作用于10维空间的群的动量的额外标量分量的电荷。反物质的几何定义。几何物理B，1，1998年3月。
[2] J.P.Petit & P.Midy : 通过群在其动量空间上的共伴作用对物质和反物质进行几何化。2：狄拉克反物质的几何描述。几何物理B，2，1998年3月。
[3] J.P.Petit和P.Midy : 通过群在其动量空间上的共伴作用对物质和反物质进行几何化。3：狄拉克反物质的几何描述。费曼之后对反物质的首次几何解释及所谓的CPT定理。几何物理B，3，1998年3月。
[4] J.M.Souriau : 动态系统的结构，Dunod-France出版社，1972年和Birkhauser出版社，1997年。
[5] J.M.Souriau : 几何与相对论。Hermann-France出版社，1964年。
[6] P.M.Dirac : “质子和电子的理论”，1929年12月6日，发表于《皇家学会会刊》（伦敦），1930年：A 126，第360-365页。
[7] R.Feynman : “反粒子的原因”在《基本粒子和物理定律》中，剑桥大学出版社，1987年。
致谢。
本工作由法国国家科学研究中心和法国Dreyer专利与开发公司资助。
1998年密封寄存于巴黎科学院。
法国科学院版权，巴黎，1998年。
原始版本（英文）
f4505 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's antimatter. Geometrical interpretations of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. (p5)
The equation (16) is the action on the Lie algebra element , corresponding to the group .The coadjoint action is the dual of this action and is based on the invariance of a scalar. Call S this scalar from which one computes the coadjoint action of the group on its momentum. We compute the coadjoint action of the group g3 from the scalar :
(17) c dJ + S
Then the coadjoint action of the group g3 on its momentum is :
(18) (4529)
The moment of the group g3 is :
(19) J = { c , momentum of the group G }
The extension of the group adds a component c to the moment, which obeys (20). In particular, if , i.e :
(20) (4531)
its coadjoint action is :
(21) c' = l m c
(22) (4532)
(23) (4533)
The equations (22) + (23) identifies to the coadjoint action of the Poincaré group when L is the neutral component of the Lorentz group.
We know that we can put the momentum Jp of the Poincaré group gp into an antisymmetric matrix :
(24) (4534)
The its action on this momentum is :
(25) (4535)
Then we can write :
(26) **J **= { c , Jp }
and :
(27) (4536) c' = l m c
The Dimension of the Poincaré group is ten. The dimension of this extended group is eleven, due to adding the new variable f . ( l = ± 1 ) and ( m = ± 1 ) are not new dimensions of the group.
This method can be extended as many times as one wants. Consider the following matrix :
(28) (4537)
The Poincaré group depends owns ten dimensions. The set ( f1 ,f2 , f3 , f4 , f5 , f5 )
adds si more dimensions. The scalar ( l1 ,l2 , l3 , l4 , l5 , l5 ) are fixed and do not correspond to new dimensions.
The coadjoint action of the group on its momentum
(29) J = { c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , Jp }
is :
(30) (4538) c'i = li m ci with i = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
References.
[1] J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. Geometrical Physics B , 1 , march 1998.
[2] J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical description of Dirac's antimatter. Geometrical Physics B, **2 **, march 1998.
[3] J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Geometrical description of Dirac's antimatter. A first geometrical interpretation of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. Geometrical Physics B , 3 , march 1998.
[4] J.M.Souriau : Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod-France Ed. 1972 and Birkhauser Ed. 1997.
[5] J.M.Souriau : Géométrie et relativité. Ed. Hermann-France, 1964.
[6] P.M.Dirac : "A theory of protons and electrons", Dec. 6th 1929, published in proceedings of Royal Society ( London), 1930 : A **126 **, pp. 360-365
[7] R.Feynman : "The reason for antiparticles" in "Elementary particles and the laws of physics". Cambridge University Press 1987.
Acknowledgements.
This work was supported by french CNRS and Brevets et Développements Dreyer company, France.
Déposé sous pli cacheté à l'Académie des Sciences de Paris, 1998.
Copyright french Academy of Science, Paris, 1998.