J.M.索里奥关于太阳系的工作。
……这项工作由J.M.索里奥于1989年在瑞士日内瓦举行的一次专门讨论引力的科学会议上提出。论文标题为：
太阳系中的共振与非共振现象
……索里奥从分析不同行星的轨道周期入手。地球绕太阳一周为365天。金星年的持续时间为225天。索里奥从这两个数字构建了一个斐波那契数列（其中每一项都是前两项之和）。我们知道相邻两项的比值趋于黄金数。他将这些数值与轨道周期进行比较。
30 太阳（29天）
55 无
85 水星（88天）
140 无
225 金星
365 地球。
590（1年7个月）：火星（1年10个月）
955 无
1545（4年3个月）：谷神星-智神星（小行星带）
2500 无
4045（11年）：木星（11年10个月）
6545 无
10590（29年）：土星（29年5个月）
17135 无
27725（76年）天王星（84年）
44860 无
72585（199年）海王星（165年），冥王星（248年）
……然后他研究行星对之间的共振。数学家（刘维尔、胡尔维茨、博雷尔）构建了一种数学检验方法，即“给定数字的无理性程度的度量”，衡量它“远离”有理分数（两个整数之比）的程度。
(a701)
博雷尔引入数字：
q ( x , q) = (分母)2 * I x - q I
q(x) 若取下限，当q取有理值时。
若x接近有理数，q趋于零。我们得到一条曲线，显示给定数字x的无理性度量q(x)。在所有可能值中，有两个数字是最无理性的
-
黄金数：(a702)
-
及其平方：w2 = 1 - w = 0,3820...
如下图所示。
(a703)
图1：显示两个特征峰的q (x)图
分别对应黄金数及其平方。
这个函数q(x)与任何观测材料无关，是一个纯数学对象。可见的间隙对应有理分数（q = 0）。
接下来：轨道时间，单位为地球年。
水星：0,2408425
金星：0,6151866
地球：1,0000000
火星：1,8808155
谷神星-智神星：4,604
木星：11,86178
土星：29,45665
天王星：84,0189
海王星：164,765
冥王星：247,68
计算海王星和冥王星轨道周期的比值。
(a704)
……如果计算两个相邻周期的比值，可以看到这些比值介于1/3和2/3之间。五个比值介于0.35和0.40之间。海王星-冥王星对是一个共振对。
索里奥将上述检验应用于行星对。
海王星-冥王星：x = 2/3 x 0,9980 q = 0,01
天王星-海王星：x = 1/2 x 1,0199 q = 0,04
天王星-冥王星：x = 1/3 x 1,0176 q = 0,05
金星-火星：x = 1/3 x 0,9812 q = 0,06
木星-土星：x = 2/5 x 1,0067 q = 0,07
……我们看到两颗遥远的行星，海王星和冥王星，拥有异常强烈的共振。索里奥决定在以下基于周期Pj的傅里叶分析中忽略这对特殊的行星：
(a705)
下图中绘制了IF(a)I4。
(a706)
图2：函数F(a)
……索里奥发现两个显著峰值，分别为0,615和0,380，与图1的q(x)曲线非常吻合。见图3：
(a707)
图3.
……他得出结论，总体而言，太阳系是一个非共振或弱共振系统。他进行逆傅里叶变换（倒数）以构建轨道周期的可能值。逆傅里叶变换
(a708)
可以从选定的谱线ak构建。他选择了两条特殊的谱线：
a1 = w
a2 = w2
然后他得到以下结果。轨道周期的真实值已标出。
(a709)
图4：基于限于两条特殊谱线w和w2的频谱得出的行星可能周期P
