数学 几何 表面 拓扑
如何将一个克莱因瓶表面转换为一个波依德表面（左或右，任选其一）
通过施泰纳罗马表面。
意大利语：Andrea Sambusetti，罗马大学
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2003年9月27日 - 10月25日
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这是一个“克莱因瓶表面”（您可能在虚拟现实图像中已经发现了它）。它有两个尖点，是自相交线的顶点。您可以通过用发夹夹住一个气球来制作它。但您也可以制作一些多面体表示。下面的那个特别引起我们的注意。
在表4中，最难学习的是。我觉得很难有人仅通过看图就能很好地理解这些物体。请制作一些模型。简而言之，将尖点C2“拉入表面内部”（顺便说一句，这没有意义，因为您可能已经注意到，克莱因瓶表面是单侧的：它没有外表面和内表面）。坚持下去，表面会“自相交”，并用一个8字形曲线完成自相交。顺便说一句，创建了一个三重点T。
在多面体形式中，表面更容易理解，下面放大了某些元素，以显示促使我们将其转换为施泰纳罗马表面（请参见虚拟现实模拟）的结构。其最简单的多面体形式是将四个立方体组装在一起（这里只看到三个）。
表5：左侧为多面体版本，右侧为圆形版本。箭头穿过我们要“挤压”的点。下面是从挤压操作开始。
表6：进行挤压并创建一个奇点B。实际上，由于我们从两边挤压（为了节省时间），形成了两个奇点S1和S1，然后是两个尖点。此时，如果没有硬纸板、剪刀和胶带，您就麻烦了。
表7：我们只是移动了不同的尖点。如果点C2是“明显的”，您可能很难识别点C3和C4作为尖点。然而，它们位于自相交线的末端。在点C3上方只是我称之为“正圆锥”的一点，即一个具有正曲率的点（我将具有负曲率的点称为“负圆锥”）。稍微变形这个物体，就会得到施泰纳罗马表面的多面体形式（由施泰纳在罗马发明；请参见其虚拟现实插图）。
因此，游戏完成了。根据您设定的规则，存在各种类型的表面。不自相交的表面称为“嵌入”（球体或环面在R3中）。当它们自相交但切平面连续变化而不退化时，称为“浸入”。例如：克莱因瓶的经典表示。在R3中，不存在以嵌入形式表示的克莱因瓶：它必须自相交。浸入具有自相交集，但没有尖点。这些集合是连续的曲线，但可能在双点或三重点交叉。观察：球体可以通过自相交实现为浸入（这不是嵌入）。事实上，这是翻转它的方法（参见A.Phillips于1967年的方法，其核心步骤是波依德表面的双重覆盖；也参见B.Morin和J.P.Petit于1979年的研究，其中以Morin的“四耳”模型为中心，下面展示的是我大约十年前发明的多面体表示）。
如果扩展规则，接受这些物体也允许尖点，则得到“浸射”（克莱因瓶、施泰纳罗马表面）。我不知道“浸射”是否是正确的术语，但鉴于我找不到任何数学家能为我澄清这一点，我觉得发明一个术语很有趣，至少暂时，直到一位专家出现。因此，克莱因瓶和施泰纳罗马表面是“射影平面”的浸射。
坦白说，经过25年的活动和我在磁流体动力学方面的失望，我开始这些工作，因为它们似乎与任何军事应用都无关。但正如我老朋友Mihn指出的，术语“浸射”可能会引起混淆，让海军误以为我试图通过这些研究隐藏水下推进的进展。
“创建-解散”尖点对的规则允许从一个物体的浸射转换到另一个，这就是我们刚刚所做的，表明克莱因瓶和施泰纳罗马表面是同一个物体的两种浸射，称为“射影平面”。不要试图想象“射影平面”。这个物体只能通过各种不同的表示来理解。至于“射影”这个词，这只是数学家为了误导那些想进入他们封闭圈子的人而发明的众多术语之一。泽尼切利对数学毫无帮助。
因此，我们还需要看看如何转换到波依德表面，它是射影平面的浸入
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