伯伊表面几何 多面体表面 斯特凡诺罗马表面

如何将一个交叉帽表面转换为伯伊表面（右或左，任选其一）

经过斯特凡诺罗马表面。

意大利语：安德烈亚·桑布塞蒂，罗马大学

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2003年9月27日 - 10月25日

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我们从另一个角度来展示这个模型：

表14：我们重复同样的操作，创建了自相交曲线的第三个“耳朵”。在多面体模型中，它由三个共享一个顶点的正方形组成：三重点T。

表15：旋转物体，您将看到我之前在Topologicon中展示的伯伊表面的多面体版本（您还可以找到一个组装图，可以用来构建它）。

最后一张表：我试图展示斯特凡诺表面在扭曲和转变为伯伊表面时的样子。

可以看出，当画成“圆润”的形状时，需要很多练习才能理解它。当一条视线中重叠超过两片时，我们的眼睛会非常不适应。因此，多面体模型很有价值，它让任何人都可以尝试自己制作小模型，从而理解几何中被认为是复杂的变换。顺便说一句，根据所选的尖点对，可以得到一个“右”或“左”的伯伊表面（这些定义完全是任意的）。实射影平面通过两个镜像对称的“反自同构”表示方式被浸入空间。因此，我们也可以通过一个“中心”模型，即斯特凡诺罗马表面，从一个右伯伊表面转换到一个左伯伊表面。

如果这些插图能发表在《Pour la Science》或《La Recherche》这样的杂志上，那将非常有趣。但因为我的“不明飞行物偏执”问题，我已经有二十年不能在这类杂志上发表文章了。谢谢你们，赫尔维·蒂斯和菲利普·布尔朗热。我已经向这些杂志提交了无数篇这样的文章，但都被礼貌地拒绝了。最终，人们会习惯自己被开除的处境。

作为轶事，有一个“达朗贝尔奖”，用于奖励数学普及书籍的作者。这个故事是被一位负责决定奖项归属的委员会成员告诉我的（当然，背后也有金钱问题）。对话如下：

• 总之，为什么不把奖给皮特？他写过一些出色的作品，比如《Géométricon》、《Trou Noir》和《Topologicon》。

• 是的，但他不只是写了这些。

• 你指的是什么？

• 他还写了《Mur du Silence》。

• 哦，那……。

没错，《Mur du Silence》于1983年出版，是一本关于MHD的专辑。正如我们每个人都知道的，这门腐蚀性科学的优点或缺点是允许飞碟以超音速移动而不会发出轰鸣声。

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

我在我的盒子里有一份非常棒的“立方体翻转”版本，这不是莫林变体的多面体版本。这些都是我自己的创作。有一天……

2003年10月22日：如果我信任计数器的话，这些页面并没有引起太多关注。2003年10月13日，我应特罗特曼的邀请在CMI（马赛查图-贡贝尔特数学与信息中心）做了一个讲座。在那次活动中，我拿出了一套大约三十个纸板模型，将来你们可以品尝到它们的初见，因为它们已经被克里斯托夫·塔迪拍摄下来了。

做讲座时会营造出一种特定的氛围。在下面的照片中，可以看到一位几何学家表达了他的困惑。

背景中，我的长期合作者博里斯·科列夫（也是该系的几何学家）帮助展示了一些模型。在某个时刻，我问：

• 你们中有多少人以前见过斯特凡诺罗马表面？请举手。

没有人见过。因此，我认为有必要通过虚拟现实程序向他们展示这个对象，该程序由克里斯托夫·塔迪（工程师）和格勒诺布尔的劳埃-朗格文研究所（ILL）的弗雷德里克·德萨姆协助开发。显然，这种展示让观众感到困惑，因为他们很少看到数学表面随意旋转。

在前景中可见的两张纸板模型，使我们能够按逻辑顺序展示所有模型。绿色和黄色的模型以多面体形式展示了创建和解除尖点对的关键工具。最远的白色物体是交叉帽表面的多面体版本，它首先转变为斯特凡诺罗马表面的多面体版本，然后，再往前一米，随意地转变为“右”或“左”的伯伊表面。

模型分析在观众中引发了一些观察。一位几何学家问道：

• 如果按照这些模型的顺序，可以将交叉帽表面转换为伯伊表面，那么按照相反的程序，是否可以将伯伊表面转换为交叉帽表面？

我肯定地回答。受到鼓励，我的对话者接着说：

• 那么，如果在斯特凡诺罗马表面阶段停下来，是否可以返回到一个伯伊表面，但相对于初始的伯伊表面是反射的？

我再次同意。但不幸的是，没有人会提出澄清这个奇怪的世界，其中允许封闭表面的浸入具有成对创建或解除的尖点，这些尖点的集合构成了一种对浸入世界的扩展。我认为“summersion”这个词很合适。如果读者能提供一些澄清，我们欢迎他。

集中于一个尖点的曲率。

我们将通过计算顶点角的总和，并将其与欧几里得平面情况下的结果进行比较：2π。

在左上角，您可以看到一个尖点的多种可能的多面体表示之一。“拆解”表面后，角的总和超过了2π的值2α。因此，可以推断出围绕这个点C的集中角曲率是-2α。如果角α等于π/2，那么负曲率是-π（见左下图）。实际上，一个尖点的曲率可以有无限多个值。在右下角，我们强调角的总和，此时曲率变为小于-π（我们增加了负曲率）。

通过反向操作，我们可以得到一个相当令人惊讶的情况：我们可以使集中于C点的曲率（角曲率）……为零：

现在，我们从一个交叉帽表面的多面体表示开始，其中有两个尖点，每个尖点的曲率都等于-π：

在这张图中，有八个对应值为+π/2的“posiconi”。我们再添加四个曲率为+π/4的“posiconi”和四个曲率为-π/4的“negaconi”。

加上两个曲率为-π的尖点。

总计：2π

将这个“总曲率”除以2π，我们就可以得到任何实射影平面（或伯伊表面）表示的欧拉-庞加莱特征值。

在讲座过程中，我提到了艺术和如何通过翻转……来交换交叉帽表面的两个尖点。