模型的几何数学模型

如何将一个交叉帽表面
转变为一个博伊表面（右或左，任选其一）
通过施泰纳罗马表面。

意大利语：Andrea Sambusetti，罗马大学

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2003年9月27日 - 10月25日

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我们从另一个角度来展示这个模型：

表14：我们继续进行相同的操作，创建曲线自相交的第三个“耳朵”。在多面体模型中，它由三个正方形组成，有一个共同的顶点：三重点 T 。

表15：旋转物体，您将看到我之前在Topologicon中展示的博伊表面的多面体版本（您也可以找到一个组装图，可以用来构建它）。

最后一张表：我试图展示施泰纳表面在扭曲和转变为博伊表面时的样子。

我们看到，当画成“圆润”形状时，需要很多练习才能理解它。当一条视线中重叠超过两片时，我们的眼睛会非常不适应。因此，多面体模型很有价值，只要自己尝试制作这些小模型，任何人都可以理解在几何学中被认为是复杂的变换。顺便提一下，根据所选择的尖点对，可以得到一个“右”或“左”博伊表面（这些定义完全是任意的）。实射影平面通过两个镜像对称的“反自同构”表示方式嵌入到空间中。因此，我们也可以通过一个“中间”模型——施泰纳罗马表面，从一个右博伊表面转变为一个左博伊表面。

如果这些图画能发表在《Pour la Science》或《La Recherche》这样的杂志上，那会很有趣。但二十年来，由于所谓的飞碟主义偏差，我被禁止在这类杂志上发表文章。谢谢你们，Hervé This先生和Philippe Boulanger先生。我已经记不清向这些杂志提交了多少篇这样的文章，而它们都礼貌地拒绝了。最终，人们会习惯自己被开除的处境。

作为轶事，有一个“达朗贝尔奖”，用于奖励数学普及书籍的作者。这个故事是被授予该奖的委员会成员告诉我的（当然，背后也有金钱问题）。对话如下：

• 总之，为什么不把奖颁给Petit？他写了一些杰出的作品，比如《Géométricon》、《Trou Noir》和《Topologicon》。

• 是的，但他不只是写了这些。

• 你指的是什么？

• 他还写了《Mur du Silence》。

• 哦，那……。

没错，《Mur du Silence》于1983年出版，是一本关于MHD的专辑。正如我们每个人都知道的，这门腐蚀性的科学有一个优点或缺点，就是可以让飞碟以超音速移动而不会发出响声。

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

我收藏中有一版非常漂亮的“立方体翻转”，但这不是莫林变体的多面体版本。这些都是我自己的创作。有天我会把它拿出来……

2003年10月22日：如果相信计数器的话，这些页面并没有引起太多关注。10月13日星期一，我应Trotman的邀请在CMI（马赛Château-Gombert数学与信息中心）做了一个讲座。当时我拿出了一套大约30个纸板模型，将来你们可以品尝到它们的初稿，因为它们已经被Christophe Tardy拍摄下来了。

做讲座时会营造一种氛围。在下面的照片中，可以看到一位几何学家表达他的困惑。

背景中，我长期合作的同事Boris Kolev（也是该系的几何学家）帮助我展示了一些模型。在某个时刻，我问：

• 你们中有多少人以前见过施泰纳罗马表面？请举手。

没有人见过。因此，我觉得有必要通过虚拟现实程序向他们展示这个物体，我用随身携带的笔记本电脑，程序由Christophe Tardy（工程师）和Frédéric Descamp（格勒诺布尔的Laue Langevin研究所）协助完成。显然，这种展示让观众感到困惑，他们很少看到数学表面随意翻转。

两张纸板模型在前景中，按逻辑顺序展示了所有模型。绿色和黄色的模型以多面体形式展示了创建和解体尖点对的基本工具。最远的白色物体是交叉帽表面的多面体版本，它首先转变为施泰纳罗马表面的多面体版本，然后，再往前行一米，可以随意转变为“右”或“左”博伊表面。

模型分析在观众中引发了一些观察。一位几何学家问道：

• 如果按照这些模型的顺序，可以从交叉帽表面转变为博伊表面，那么按照相反的程序，是否可以将博伊表面转变为交叉帽表面？

我肯定地回答。受到鼓舞，我的对话者接着说：

• 那么，如果在施泰纳罗马表面阶段停下来，是否可以返回到一个博伊表面，但相对于初始表面是镜像的？

我再次同意。但不幸的是，没有人会出来解释这个奇怪的世界，在这个世界中，允许闭曲面的嵌入具有成对创建或解体的尖点，这些尖点的集合构成了一种对嵌入世界的扩展。“summersion”这个词似乎很合适。如果读者能提供一些解释，欢迎你。

集中在尖点上的曲率。

我们将通过计算顶点处的角度总和，并将其与欧几里得平面情况下的结果进行比较：2p。

在左上角，您可以看到一个尖点的多种多面体表示之一。“拆解”表面后，角度总和超过了2p的值，增加了2a。因此，可以推断出围绕这个点C的集中角曲率为-2a。如果角a等于p/2，那么负曲率就是-p（见左下图）。实际上，尖点的曲率可以有无限多个值。在右下角，我们强调角度总和，此时曲率变为小于-p（我们增加了负曲率）。

通过反向操作，我们可以得到一个相当令人惊讶的情况：我们可以使C点处的（角）曲率……为零：

现在，我们从一个交叉帽表面的多面体表示开始，其中包含两个尖点，每个尖点的曲率都等于-p：

在这张图中，有八个“posiconi”（正曲率）值为+p/2。我们再添加四个“posiconi”曲率为+p/4和四个“negaconi”曲率为-p/4。

再加上两个曲率为-p的尖点。

总计：2p

将这个“总曲率”除以2p，我们就能得到任何实射影平面（或博伊表面）表示的欧拉-庞加莱特征值。

在讲座过程中，我提到了艺术和如何通过球面翻转来交换交叉帽表面的两个尖点。...