拓扑球体数学模型
意大利语：安德里亚·萨姆布塞蒂，罗马大学
点击此处 以查看1:1比例的模型图纸，可以打印并剪下。
将四份在两种不同颜色的卡纸上复印，
您就可以自己动手制作这个模型，
按照安装说明进行组装。
您一定已经看到一个奇特的物体在本网站首页的左侧不停地旋转。这是什么？
有一天，当我有时间的时候，我会在这个网站上安装一个关于球体翻转的描述，就像我在1979年1月的《Pour la Science》杂志中所描述的那样！那是22年前的事了！这将需要很多细节和一个引言。什么是“翻转一个球体”？对于普通人来说，球体只是空间中距离一个固定点O为R的所有点的集合。而几何学家则继续称“球体”，即使它是一个“变形的球体”，比如一个土豆。为了更准确地理解这些概念，请获取包含漫画《Topologicon》的Lanturlu光盘。但数学家走得更远。当在每个点上都可以定义一个切平面时，该表面被称为“正则的”。这已经允许我们想到无数种球体的规则变形，即无数种土豆的形状，同时还可以任意改变该表面的面积。然而，在我们的物理宇宙中，试图翻转球体（即把其内部表面翻转到外部）的人将面临无法让其表面自我穿越的困难。当假设禁止表面自我穿越，甚至只是“接触”时，数学家称之为球体S2的嵌入。但数学家总是可以做任何事情。对数学家来说，球体是一个“虚拟”的对象，而不是物质的，在那里，一个面的穿越被认为是可能的。下面的图片序列显示了一个自我穿越的球体。这种允许自我穿越的表示称为“浸入”。
因此，浸入具有一个自我相交的集合（这里是一个简单的圆形曲线）。然而，切平面必须连续变化。在这一点上，当您查看上面的图片时，可以清楚地看到该操作将内部表面（用绿色表示）带到了外部。为了完成翻转，必须压平这个类似赤道的管道。这里似乎有问题：这种压平会破坏切平面的连续性，因此这种变换将包含一个不是浸入的步骤。
有一天，一位美国数学家史蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）证明了“S2球体只有一种浸入类”。这句话含糊其辞，其结果是可以通过仅包含真正浸入的变换，从标准球体到其“对极”表示，即每个点与其对极点交换的表示：换句话说……一个翻转的球体。Raoul Bott是Smale的导师。尽管这个事实的正式证明似乎正确，但似乎没有人能够实际完成这种翻转操作。Bott一直要求Smale“让我看看你是怎么想的”；而Smale，以直言不讳著称，回答说“我一点头绪都没有”。后来，Smale获得了菲尔兹奖，这是数学界的诺贝尔奖。顺便说一下，您可能会问为什么没有诺贝尔数学奖。答案很简单：他的妻子和一个数学家私奔了。
事情就这样持续了很多年，直到1967年，一位名叫安东尼·菲利普斯（Anthony Phillips）的美国数学家在《科学美国人》上发表了一种翻转的初步版本，极其复杂。第二种是由法国数学家（盲人）贝尔纳·莫林（Bernard Morin）在70年代初发明的。我是第一个绘制出这些变换序列的人，正如我之前宣布的，这将是我网站上即将发表的一篇文章的主题，而且内容相当丰富。无论如何，这使我们得出一个想法。表面可以用多面体形式表示。立方体或四面体可以被视为球体的多面体表示，因为这些物体具有相同的拓扑结构。在这方面，请参考我的《Topologicon》。此外，可以理解的是，如果可以翻转球体，那么也可以翻转立方体。由贝尔纳·莫林发明的变换（我在1979年1月的《Pour la Science》杂志文章中进行了说明）经过一个中心模型。这种序列中存在一种对称性。这就是我所说的“四耳中心模型”。我提前透露了一些内容。无论如何，正如球体可以有多种多面体表示，这种变换的后续步骤也是如此。您在首页上看到旋转的是我几年前发明的球体翻转中心模型的多面体版本。这些多面体模型的吸引力在于它们可以用平面表面构建。也可以用纸和剪刀来构建。请看一下下面的图纸（感谢括号中的朋友克里斯托夫·塔迪，他制作了正确尺寸的元素）。
这是组装的平面图，这里有一个总体视图。但为了打印，最好转到裁剪页面。打印它。然后，使用您打印机上普通的纸张打印出这个样本，复印四份相同的副本，其中两份在绿色的卡纸上，两份在黄色的卡纸上。您将能够通过这些剪裁的纸张，构建立方体翻转的中心模型。
在剪裁的元素上，有成对的字母：a，b，c，d，e，f等。只需将纸张折叠，使相同的字母重合，然后用透明胶带固定表面。接下来的图片显示了如何组装四个部件中的一个。首先，您需要如何折叠四个元素中的一个：
这是四个元素中的两个，从不同的角度观看。
然后将它们排列，以形成一个具有四阶对称性的物体，绿色和黄色的元素交替出现。要查看三维效果，请查看塔迪的实现，查看“虚拟现实”部分。该中心模型在此部分中已组装并以“vrml”格式实现。这是从不同角度再现的模型：
不能说一个视角对应“上面”，另一个对应“下面”，因为这些名称是完全任意的。在左边的图片中，“中心”点对应“点do...”