通过Steiner罗马表面将Cross Cap转换为Boy表面
如何通过Steiner罗马表面将一个Cross Cap转换为Boy表面（左或右，任选其一）。
2003年9月27日 - 10月25日
第2页
这是一个Cross Cap（如你在虚拟现实图像中所发现的那样）。它有两个尖点，围绕着一条自相交线。你可以用卷发器夹住一个气球来制作它。但你也可以构建一些多面体表示。下面的那个特别引起我们的注意。
在这张图4中，是最难理解的部分。我认为，随便一个人仅凭看图是很难理解这些图形的。请制作这些模型。也就是说，我们把尖点C2向“表面内部”拉（顺便说一句，这没有意义，因为，你可能已经立即注意到，Cross Cap是单侧的。如果继续拉，表面会自我交叉，整个自我交叉部分会以一个8字形曲线完成。这时会形成一个三重点T）。
当以多面体形式呈现时，表面更容易理解。在下面，我们放大了一些元素，以展示我们为何要将这个物体转换为Steiner罗马表面（参见虚拟现实），其最简单的多面体形式是将四个立方体拼接在一起（这里只看到三个）。
图5：左边是多面体，右边是8字形。箭头经过一个我们将要“夹紧”的通道。在底部是夹紧的开始。
图6：通过创建一个奇异点B完成夹紧。实际上，为了节省时间，我们从两边夹紧；这样会形成两个奇异点S1和S1，以及两对尖点。此时，如果没有硬纸板、剪刀和胶带，你将无从下手。
图7：我们只是将不同的尖点移动了一下。如果点C2是“明显的”，你可能会在识别点C3和C4作为尖点时遇到一些困难。它们实际上位于一条自相交线的末端。在点C3上方只是一个我称之为“posicoin”的点，即正曲率的集中点（负曲率的集中点称为“négacoin”）。稍微变形这个物体，你会得到Steiner罗马表面的多面体形式（Steiner在罗马发明的四次曲面。参见其在虚拟现实中的展示)。
因此，整个过程完成了。根据所设定的规则，存在不同类型的表面。那些不自我交叉的表面称为“嵌入”（如球体、环面在R3中的嵌入）。当它们自我交叉但切平面连续变化时，称为“浸入”。例如：克莱因瓶的经典表示。在R3中，克莱因瓶没有嵌入形式的表示。它必须自我交叉。浸入具有“没有尖点的自我交叉集合”。这些曲线是连续的，但可能在双点或三重点处交叉。注意：球体可以通过使其自我交叉而呈现为一种浸入。事实上，这就是实现球体翻转的方法（A. Phillips, 1967年，其中心步骤是Boy表面的双叶覆盖；B. Morin和J.P. Petit, 1979年，其中心模型是Morin的四耳模型，下面是我大约十年前发明的一种多面体表示。
如果我们假设这些物体具有尖点，那么我们得到的是“浸出”（Cross Cap，Steiner罗马表面）。我不知道这是否是正确的术语，但因为我找不到任何数学家来解释这个问题，所以我觉得发明一个术语很有趣，暂时使用，直到有专家出现。因此，Cross Cap和Steiner罗马表面可能是“投影平面”的浸出。
说实话，在过去25年里，我在MHD方面经历了很多挫折后，我开始进行这些研究，因为它们似乎与任何军事应用都相距甚远。但正如我老朋友Mihn指出的那样，“浸出”这个词可能会引起混淆，让海军认为我试图通过这些研究隐藏某种水下推进技术的突破。
“尖点对的生成-消散”规则允许从一个物体的浸出转换到另一个，我们刚刚通过展示Cross Cap和Steiner罗马表面是同一个称为“投影平面”的物体的浸出来实现了这一点。不要试图想象“投影平面”是什么样子的。这个物体只能通过其不同的表示来理解。至于“投影平面”这个词，这只是数学家为误导那些想要进入他们封闭圈子的人而发明的众多术语之一。在数学中，Larousse词典对你毫无帮助。
然后，我们转向Boy表面，它是投影平面的一种浸入。
自2003年10月25日起的访问次数：
图片
