通过Steiner罗马曲面将Cross Cap转化为Boy曲面
如何通过Steiner罗马曲面将一个Cross Cap（可选择左或右）转化为Boy曲面。
2003年9月27日 - 10月25日
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这是一个Cross Cap（如你在虚拟现实图像中所发现的那样）。它有两个尖点，围绕着一条自相交线。你可以用一个卷发器夹住一个气球来制作它。但你也可以构建它的多面体表示。我们将特别关注下面的那个。
在这张图4中，是最难理解的部分。我觉得普通人仅凭看图几乎不可能理解这些图形。请制作这些模型。也就是说，我们把尖点C2向“曲面内部”拉（顺便说一句，这没有意义，因为你可能已经注意到，Cross Cap是单侧的。如果坚持这么做，曲面会自我交叉，整个自相交部分会以一个8字形曲线完成。在过程中会形成一个三重点T）。
当以多面体形式呈现时，曲面更容易理解。在下面，我们放大了一些元素，以展示我们为何要将这个物体转化为Steiner罗马曲面（参见虚拟现实），其最简单的多面体形式是将四个立方体拼接在一起（这里只看到三个）。
图5：左边是多面体，右边是8字形。箭头经过一个我们将“夹紧”的通道。在底部是夹紧的开始。
图6：通过创建一个奇点B来完成夹紧。实际上，为了节省时间，我们从两边夹紧；于是形成了两个奇点S1和S1，以及两对尖点。此时，如果没有硬纸板、剪刀和胶带，你将无从下手。
图7：我们只是将各个尖点移动了一下。如果点C2是“明显的”，你可能会在识别点C3和C4作为尖点时遇到一些困难。然而，它们确实位于自相交线的末端。在点C3上方只是一个我称之为“正币”的点，即正曲率的集中点（负曲率的集中点称为“负币”）。稍微变形这个物体，就会得到Steiner罗马曲面的多面体形式（Steiner在罗马发明的四次曲面。参见其虚拟现实展示)。
因此，这个过程完成了。根据所设定的规则，存在不同类型的曲面。那些不自我交叉的曲面称为“嵌入”（如球面、环面在R3中）。当它们自我交叉但切平面连续变化时，称为“浸入”。例如：克莱因瓶的经典表示。在R3中不存在克莱因瓶的嵌入表示。它必然自我交叉。浸入具有“不含尖点的自相交集合”。这些曲线是连续的，但可能在双点或三重点处交叉。注意：球面可以通过简单地自我交叉而呈现为一种浸入。事实上，这就是人们在1967年通过阿·菲利普斯（A. Phillips）的方法实现球面翻转的方式，其中心步骤是Boy曲面的双叶覆盖；1979年，B. Morin和J. P. Petit通过Morin的四耳模型实现了球面翻转，下面是我大约十年前发明的这个模型的多面体表示。
如果我们假设这些物体具有尖点，那么我们得到的是“浸出”（如Cross Cap，Steiner罗马曲面）。我不知道这是否是正确的术语，但因为我没有找到任何数学家能为我澄清这一点，我觉得发明一个词很有趣，暂时使用，直到有专家出现。因此，Cross Cap和Steiner罗马曲面可能是“射影平面”的浸出。
说实话，经过25年在MHD领域的问题后，我开始进行这些研究，因为我觉得它们与任何军事应用都毫无关系。但是，正如我老朋友Mihn指出的，术语“浸出”可能会引起混淆，让海军认为我试图通过这些研究隐藏某种水下推进的突破。
“创建-消除”尖点对的规则允许我们从一个物体的浸出转换到另一个，我们刚刚通过展示Cross Cap和Steiner罗马曲面是同一物体“射影平面”的两个浸出来完成这个过程。不要试图想象“射影平面”是什么样子。这个物体只能通过它的不同表示来理解。至于“射影平面”这个词，这只是数学家为误导那些想进入他们封闭圈子的人而发明的众多术语之一。在数学中，拉鲁斯词典对你毫无帮助。
最后，我们转向Boy曲面，它是射影平面的一种浸入。
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