通过Steiner罗马表面将Crosscap转换为Boy表面
如何通过Steiner罗马表面将一个Crosscap转换为Boy表面（左或右，任选其一）。
2003年9月27日
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现在以另一个角度展示该模型：
第14块：我们再次进行相同操作，创建自相交曲线的第三个“耳朵”。在多面体中，它由三个具有共同顶点的正方形组成：三重点T。
第15块：当你旋转这个物体时，你会看到我之前在Topologicon中介绍过的Boy表面的多面体版本（其中包含一个可以用来构建它的剪裁图）。
最后一块：我尝试描绘Steiner表面（四次方的，而Boy是六次方的）在扭动并转变为Boy表面时的样子。
可以看出，要理解这个物体，需要相当的技巧。当视线中同时叠加超过两层时，我们的眼睛会非常不适应。因此，多面体形式很有用，它使得原本在几何学中被认为复杂的变换变得容易理解，因为人们愿意自己动手制作模型。顺便提一下，根据所选择的尖点对，可以得到一个“右”或“左”的Boy表面（这些词完全是任意的）。实射影平面以两种“对映”形式浸入，互为镜像。可以看出，通过一个“中心”模型，即Steiner罗马表面，可以从一个右Boy表面转换到一个左Boy表面。
如果这些图能发表在《Pour la Science》或《La Recherche》上，那将是很有趣的事。但过去二十年来，由于我曾有“飞碟异端”倾向，被这些杂志禁止发表文章。谢谢赫尔维·蒂斯先生和菲利普·布尔朗格先生。我不记得自己曾向这些杂志投递过多少篇这样的文章，但都被礼貌地退回了。最终，我接受了自己被开除教籍的地位。
作为轶事，法国有一个“达朗贝尔奖”，用于奖励数学通俗读物的作者。这个故事是被一位负责决定该奖得主的委员会成员告诉我的（这个奖项还是有一些奖金的）。对话如下：
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但是，我们不能把奖授予皮特吗？他写过一些杰出的作品，比如《几何学》、《黑洞》和《拓扑学》。
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是的，但他还写过其他作品。
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你指的是什么？
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他还写了《沉默之墙》。
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啊，这样的话……
是的，《沉默之墙》出版于1983年，是一本专门介绍MHD（磁流体动力学）的专辑。众所周知，这门神秘的科学具有让飞碟以超音速飞行而不产生爆炸的神奇能力。
隐藏这门科学，我看不到它
我手头有一份“立方体翻转”的精彩版本，其中央模型非常漂亮，不是莫林变体的多面体版本。这些都是我自己的作品。有朝一日……
2003年10月22日：根据计数器的数字来看，这些页面上并没有很多人。10月13日，我应特罗特曼的邀请在CMI（马赛Château-Gombert数学与计算机中心）做了一个讲座。期间，我展示了一组大约30个纸板模型，这些模型将很快首次向您展示，它们由克里斯托夫·塔迪拍摄。
当做一个讲座时，会有一种氛围。在下面的照片中，一位几何学家表达了他困惑的表情。
背景中是部分展示的模型。我问了一个问题：
- 哪些人以前见过Steiner罗马表面？请举手。
没有人见过。因此我认为有必要展示这个实际上虚拟的物体，我用自己带来的笔记本电脑展示，这个物体由克里斯托夫·塔迪（工程师）和格勒诺布尔（ILL）的弗雷德里克·德萨姆合作完成。显然，这种展示让听众感到困惑，他们很少看到数学表面随意地旋转。
在前景中可以看到两个纸板板，它们用于按逻辑顺序展示后续的模型。"绿黄"模型用多面体形式展示了创建和消除尖点对的基本工具。最远的白色物体是Crosscap的多面体版本，它首先转变为Steiner罗马表面的多面体版本，再进一步可以随意转变为“右”或“左”的Boy表面。
对模型的分析引发了一些评论。一位几何学家问道：
- 如果按照这个模型的方向，我们能从Crosscap转换到Boy表面，那么反过来，我们是否能将Boy表面转换为Crosscap？
我表示肯定。受到鼓励，我的对话者接着说：
- 如果在Steiner罗马表面阶段停下来，是否可以再转回一个镜像的Boy表面？
我再次表示赞同。但遗憾的是，没有人愿意对这个奇特的世界进行澄清，这个世界中，封闭曲面的浸入被赋予了成对的尖点，这些尖点可以被创建或消除，整个系统构成了浸入世界的一种扩展。我觉得“子浸入”这个词更合适。如果读者能找到相关的解释，欢迎提供。
尖点处的曲率集中
我们通过计算顶点处的角度总和，并将其与欧几里得总和2π进行比较来计算曲率：
在左上方，显示了尖点的多种多面体表示之一。拆解物体（右图）导致角度总和超过欧几里得总和2π，超出值为2α。由此可以推断，该点C附近的集中角曲率为-2α。如果角α等于π/2，则负曲率值为c（见下图左下方）。实际上，尖点处的集中曲率可以取无限多种值。在右下方，我们增加了角度总和，因此曲率将小于2α。我们进一步增加负曲率。
通过相反的操作，可以得到一个相当令人惊讶的情况：使C处的集中角曲率……为零：
现在我们可以从一个包含两个尖点的Crosscap多面体表示开始，每个尖点的负曲率等于**-π**：
有八个“正点”对应+π/2的值。再添加四个+π/4的“正点”和四个-π/4的“负点”。
再加上两个-π的尖点。
总计：2π
将总曲率除以2π，我们就能得到……特性。