通过Steiner罗马表面将Crosscap转换为Boy表面
如何通过Steiner罗马表面将Crosscap转换为Boy表面（右或左，任选其一）。
2003年9月27日
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现在以另一种角度展示该模型：
第14幅图：我们重复同样的操作，创建曲线自相交的第三个“耳朵”。在多面体中，它由三个具有共同顶点的正方形组成：三重点T。
第15幅图：当你旋转物体，你会看到我在Topologicon中介绍过的Boy表面的多面体版本（其中包含一个可以用来构建它的剪裁）.
最后一幅图：我尝试描绘Steiner表面（四次方的，而Boy表面是六次方的）正在扭曲并转化为Boy表面。
可以看出，要理解这个物体，需要相当的技巧。当视线中同时叠加超过两层时，我们的眼睛非常不适应。因此，多面体形式很有用，它让普通人也能理解原本在几何学中被认为很复杂的变换，因为人们会自己动手制作模型。顺便说一句，根据选择的尖点对，你可以得到一个“右”或“左”的Boy表面（这些词完全是任意的）。实射影平面以两种“对映”形式浸入，互为镜像。可以看出，可以通过一个“中间”模型——Steiner罗马表面，从右Boy表面转换为左Boy表面。
这些图画如果发表在《Pour la Science》或《La Recherche》上会很有趣。但过去二十年来，由于我发表了关于飞碟的“异端”观点，我被这些杂志“禁止发表”。谢谢赫尔维·蒂斯先生和菲利普·布尔朗格先生。我记不清自己向这些杂志投递过多少篇这样的文章，但都被礼貌地退回了。最终，我接受了自己被开除教籍的地位。
顺便说一句，法国有一个“达朗贝尔奖”，用于奖励数学通俗读物的作者。这个故事是被一位负责决定奖项归属的委员会成员告诉我的（毕竟还有些奖金）。对话如下：
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但最后，我们不能把奖授予皮特吗？他写过像《Géométricon》、《Trou Noir》和《Topologicon》这样的出色作品。
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是的，但他还写过其他作品。
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你指的是什么？
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他还写了《Mur du Silence》。
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哦，这样的话……
是的，《Mur du Silence》出版于1983年，是一本关于MHD的专辑。众所周知，这门神秘的科学有某种特殊功能，可以让飞碟以超音速飞行而不会产生爆炸。
隐藏这门科学，我看不到它
我手头有一版“立方体翻转”的精彩版本，其中央模型非常漂亮，不是莫林变体的多面体版本。这是我自己的作品。也许有一天……
2003年10月22日：根据计数器的数字，这些页面上并没有很多人。10月13日，我应特罗特曼的邀请在CMI（马赛Château-Gombert数学与计算机中心）做了一个研讨会。期间，我展示了一组约30个纸板模型，这些模型将很快首次向您展示，它们由克里斯托夫·塔迪拍摄。
当你做研讨会时，会有一种氛围。在下面的照片中，一位几何学家表现出困惑。
背景中是部分展示的模型。我问了一个问题：
- 哪些人以前见过Steiner罗马表面？请举手。
没有人见过。所以我决定用我带来的笔记本电脑展示这个虚拟对象，该对象由克里斯托夫·塔迪工程师和格勒诺布尔的Laue Langevin研究所（ILL）的弗雷德里克·德萨姆合作完成。显然，这种展示让听众感到困惑，他们不习惯看到数学表面随意地旋转。
在最前面的两张纸板模型，有助于按逻辑顺序展示后续的模型。"绿色和黄色"模型以多面体形式展示了创建和消除尖点对的关键工具。最远的白色物体是Crosscap的多面体版本，它首先转化为Steiner罗马表面的多面体版本，然后可以随意转化为“右”或“左”的Boy表面。
对模型的分析引发了一些评论。一位几何学家问道：
- 如果按照模型的这个方向，我们可以从Crosscap转换到Boy，那么反过来，我们是否可以将Boy转换为Crosscap？
我回答是的。受到鼓励，我的对话者接着说：
- 如果在Steiner罗马表面阶段停下来，那么就可以重新转向镜像的Boy表面。
我再次表示赞同。但遗憾的是，没有人愿意来解释这个奇怪的世界，其中封闭曲面的浸入被赋予了成对出现或消失的尖点，整个构成了浸入世界的一种扩展。我觉得“submersions”这个词更合适。如果读者找到了相关的解释，欢迎提供。
尖点处的曲率集中
我们可以通过计算顶点的角度总和，并将其与欧几里得总和2π进行比较来计算它：
在左上角，我们展示了一个尖点的多种多面体表示之一。“拆解”这个物体（右边）导致角度总和超过欧几里得总和2π，差值为2α。因此，我们可以得出结论，该点C附近的集中角曲率为-2α。如果角α等于π/2，那么负曲率值为c（见左下图）。实际上，尖点处的集中曲率可以取无限多个值。在右下角，我们增加了角度总和，因此曲率将小于2α。我们进一步增加负曲率。
通过相反的操作，我们可以得到一个相当惊人的结果：让集中在C点的曲率（角曲率）……为零：
现在我们可以从一个包含两个尖点的Crosscap多面体表示开始，每个尖点的负曲率等于**-π**：
有八个“正币”对应+π/2的值。再加上四个+π/4的“正币”和四个-π/4的“负币”。
再加上两个-π的尖点。
总计：2π
将总曲率除以2π，我们就可以得到……欧拉特征数。