立方体翻转的中心模型（多面体）
立方体翻转的中心模型
2001年12月31日
你们都曾看到过，在网站首页的左侧，一个奇怪的物体不停地旋转。这是什么东西呢？
有一天，当我有时间的时候，我会在网站上添加关于球体翻转的描述，正如我在1979年1月的《Pour la science》杂志中所展示的那样，那已经是……22年前的事了。显然，这需要大量的细节和介绍。翻转一个球体是什么意思？对于普通人和数学家来说，球体的意义是不同的。对于普通人来说，球体是在三维空间中，距离固定点O为R的所有点的集合。而几何学家则会称一个“变形球体”，即一种“土豆”形状的物体为“球体”。为了更准确地理解这些概念，请购买Lanturlu光盘，其中包含漫画《Le Topologicon》。但数学家走得更远。当一个曲面被称为“正则”时，可以在每个点上定义一个切平面。这已经可以设想从“初始球体”变形为无数种“土豆”形状。此外，该曲面的面积可以是任意的。然而，在“物理世界”中，当一个人试图变形这个球体时，会遇到无法让球体自身穿过自身的困难。如果这些穿过或接触被禁止，那么我们称之为球面S2的“嵌入”。但数学家则拥有所有权利。对数学家来说，球体是一个“虚拟”物体，其中曲面的穿过成为可能。下面的图画展示了一个“自穿”的球体。我们称这种球体的表示为“浸入”。
浸入具有一个自交集或自相交（这里是一条简单的圆形曲线）。切平面必须连续变化。然而，当你看上面的图画时，你会发现这个操作将球体的一部分（用绿色表示）从内部翻转到外部。要完成这样的翻转，需要压扁这个“赤道状的管子”。这在表面上看起来是有问题的。这种压扁会破坏切平面的连续性。因此，这个操作将包括一个“不是浸入”的步骤。
有一天，一位美国数学家史蒂芬·斯马尔（Stephen Smale）证明了“S2球体只有一种浸入类”。这句话神秘的含义是，我们可以连接一系列球体的浸入，从而从“标准球体”转换到其“对极”表示，即所有点都被替换为其对极点。简而言之，就是翻转的球体。拉乌尔·博特（Raoul Bott）是斯马尔的导师。尽管斯马尔的证明是纯粹形式的，看起来无懈可击，但没有人知道如何实现这个操作。博特不断对斯马尔说：“给我看看你是如何设想进行这个操作的。”斯马尔则以他著名的“舌头上的头发”回答：“我一点头绪也没有。”斯马尔后来获得了菲尔兹奖，这相当于数学界的诺贝尔奖。顺便说一句，你可能会想知道为什么诺贝尔从未设立数学奖。答案很简单：他的妻子和一个数学家跑了。
这件事在很多年里一直没有什么进展，直到1967年，一位名叫安东尼·菲利普斯（Anthony Phillips）的美国数学家在《科学美国人》上发表了一种非常复杂的球体翻转方法。1970年代初，法国数学家（盲人）贝尔纳·莫林（Bernard Morin）发明了第二种方法。我是第一个绘制出这些变换的，我已经说过，这些变换将是我网站上一篇较详细的论文的主题。无论如何，这使我们得出一个附带结论。表面可以以多面体形式表示。立方体或四面体可以被视为球体的多面体表示，因为这些物体具有相同的“拓扑”。在这方面，请参阅我的漫画《Le Topologicon》。此外，人们会明白，既然可以翻转一个球体，那么也可以翻转一个立方体。由贝尔纳·莫林发明的变换（我在1979年1月的《Pour la science》文章中进行了说明）经过一个中心模型。这个序列中存在一种对称性。这就是所谓的“四耳中心模型”。我提前说一下。同样，球体可以以多面体形式表示，这些变换的每一步也可以如此。你在我首页上看到的正在旋转的物体，就是球体翻转中心模型的多面体版本，这是我大约十年前发明的。这些多面体模型的有趣之处在于，它们可以用平面表面来构建。你甚至可以按裁剪方式来安排它们。请看一下下面的图画（顺便感谢我的朋友克里斯托夫·塔迪，他提供了正确标注的元素）。
这是一张会以小尺寸打印出来的图画，无法使用。
要在A4纸上打印这张图
需要在A4厚纸上打印四份，两份用一种颜色，两份用另一种颜色。
这是一个裁剪的概览图。但为了打印，最好您转到页面 裁剪。打印它。然后，用您打印机上的普通纸张打印出这份文件，去复印店复印四份相同的图画，两份用绿色卡纸，两份用黄色卡纸。您就可以使用这个裁剪来构建立方体翻转的中心模型。
在这些裁剪的部件上，有成对的字母：a、b、c、d、e、f等。您只需将相同的字母对齐折叠，然后用透明胶带将这些面粘合在一起。接下来的图画展示了如何组装四个部件中的一个。首先，这里是折叠四个部件之一的开始方法：
这里是两个这样的部件，从不同的角度观看。
这些部件随后组合起来，形成一个具有四阶对称性的物体，或者交替使用绿色和黄色的部件。要以3D方式查看，请查看塔迪先生的“虚拟现实”作品。这个完全组装好的中心模型也以“vrml”格式在这个部分中提供。这是从不同角度看到的物体：
不能说一个视图对应“上面”，另一个对应“下面”，因为这些名称完全是任意的。在左边的视图中，“中心”点对应“点……”