立方体翻转的中心模型（多面体）
立方体翻转的中心模型
2001年12月31日
你们都看到过，在网站首页的左侧，有一个奇怪的物体在不停地旋转。这是什么？
有一天，当我有时间的时候，我会在网站上安装一个关于球体翻转的描述，就像我在1979年1月的《Pour la science》杂志中所展示的那样，那已经是……22年前的事了。显然，这需要大量的细节和介绍。翻转一个球体是什么意思？对普通人来说，球体是在三维空间中，到固定点O的距离为R的所有点的集合。而几何学家则会称一个“变形球体”或“土豆”为“球体”。为了更准确地理解这些概念，请购买Lanturlu光盘，其中包含漫画《Le Topologicon》。但数学家走得更远。当一个曲面被称为“正则”时，可以在每个点上定义一个切平面。这已经可以设想从“原始球体”到无数个“土豆”的无限变形，而该曲面的面积可以是任意的。然而，在“物理宇宙”中，试图变形这个球体的人将遇到无法让球体自身穿过自身的困难。如果这些穿过或接触被禁止，那么我们称之为球面S2的“嵌入”。但数学家则拥有所有权利。对数学家来说，球体是一个“虚拟”物体，其中曲面的穿过成为可能。下面的图画展示了一个“自我穿过”的球体。我们称这种球体的表示为“浸入”。
“浸入”具有一个自相交或自我相交的集合（这里是一条简单的圆形曲线）。切平面必须连续变化。然而，当你看上面的图画时，你会看到操作将球体的一部分（用绿色表示）从内部翻转到外部。要完成这样的翻转，需要压扁这个“赤道状的管子”。这似乎在一开始是有问题的。这种压扁会破坏切平面的连续性。因此，该操作将包括一个“不是浸入”的步骤。
有一天，一位美国数学家斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）证明了“S2球体只有一种浸入类”。这句话神秘的结论是，我们可以将一系列球体的浸入连接起来，从“标准球体”转换到其“对极”表示，即所有点都被替换为其对极点。简而言之，就是翻转的球体。拉乌尔·博特（Raoul Bott）是斯梅尔的导师。尽管斯梅尔的证明纯粹是形式上的，看起来无懈可击，但没有人知道如何实际执行这个操作。博特不断对斯梅尔说：“给我看看你是如何进行的。”斯梅尔用他著名的“舌头上的头发”回答：“我一点头绪都没有。”斯梅尔后来获得了菲尔兹奖，这是数学界的诺贝尔奖。顺便说一句，你可能会想知道为什么诺贝尔从未设立数学奖。答案很简单：他的妻子和一个数学家跑了。
事情一直持续了好多年，直到1967年，一位名叫安东尼·菲利普斯（Anthony Phillips）的美国数学家在《科学美国人》（Scientific American）上发表了他的第一个版本的球体翻转，非常复杂。第二个版本是在20世纪60年代初由法国数学家（失明的）贝尔纳·莫林（Bernard Morin）发明的。我是第一个绘制出这些变换的，我已经说过，这将是我网站上一篇相当长的文章的主题。无论如何，这使我们得出一个附带结论。表面可以表示为多面体。一个立方体或四面体可以被视为球体的多面体表示，因为这些物体具有相同的“拓扑”。在这方面，请参考我的漫画《Le Topologicon》。此外，人们会明白，如果可以翻转一个球体，也可以翻转一个立方体。由贝尔纳·莫林发明的变换（我在1979年1月的《Pour la science》文章中进行了说明）经过一个中心模型。在这个序列中存在一种对称性。这就是所谓的“四耳中心模型”。我提前说一下。但正如球体可以有多种多面体表示，这些变换的各个步骤也是如此。你在我首页上看到的正在旋转的物体就是球体翻转中心模型的多面体版本，这是我大约十年前发明的。这些多面体模型的有趣之处在于，它们可以用平面表面构建。甚至可以按照切割方式来安排。请看一下下面的图画（顺便感谢我的朋友克里斯托夫·塔迪，他提供了正确标注的元素）。
这是一张会以小尺寸打印出来的图画，无法使用。
要在A4纸上打印这张图
需要在A4厚纸上复印四份，两份用一种颜色，两份用另一种颜色。
这是一个整体的切割视图。但为了打印，最好转到页面 切割。打印出来。然后，拿着你打印机上普通纸张打印的这张图，去复印店，复制四份相同的图案，两份用绿色卡纸，两份用黄色卡纸。你就可以用这个切割图来构建立方体翻转的中心模型。
在这些切割的元素上，有成对的字母：a，b，c，d，e，f等。你只需要将相同的字母对齐折叠，然后用透明胶带将这些面粘合起来。接下来的图画展示了如何组装这四个元素中的一个。首先，以下是折叠这四个元素之一的开始方式：
这是其中两个元素，从不同角度观看。
这些元素随后组合在一起，形成一个具有四阶对称性的物体，或者交替使用绿色和黄色的元素。要以3D方式查看，可以看看塔迪先生的“虚拟现实”作品。这个完全组装好的中心模型也以“vrml”格式在这个部分中提供。这是从不同角度观看的物体：
不能说一个视图对应“上面”，另一个对应“下面”，因为这些名称完全是任意的。在左边的视图中，“中心”点对应“点……”