如何将交叉帽（crosscap）通过施泰纳罗马曲面（Steiner Roman surface）转化为博伊曲面（Boy surface，可选左旋或右旋）。
2003年9月27日 - 10月25日
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这是一个交叉帽（正如您在虚拟现实图像中所见）。它有两个尖点（cusp），这两个尖点界定了一条自交线。你可以用卷发棒捏一个气球来制作它。当然，你也可以构建它的多面体表示。下面那个多面体将是我们特别关注的对象。
在这张图板4中，出现了最难理解的时刻。我认为，仅凭观看这些图形，普通人几乎不可能理解它们。请动手制作这些模型。简而言之，我们将尖点 C2 向“曲面内部”拉动（顺便说一句，这其实毫无意义，因为你可能立刻注意到，交叉帽是单侧曲面。如果继续强行拉动，曲面会自我穿越，自交集会在“圆润部分”通过一条8字形曲线得到补充。在此过程中，会产生一个三重交点 T。
以多面体形式呈现时，曲面更容易理解。在下方，我们放大了某些部分，以展示为何要将此物体转化为施泰纳罗马曲面（参见虚拟现实演示）。其最简单的多面体形式由四个立方体组装而成（此处仅可见三个）。
图板5：左侧为多面体，右侧为圆润形态。箭头指示我们将要“捏合”的路径。下方显示捏合的初始阶段。
图板6：通过创建一个奇异点 B 来完成捏合。实际上，为了节省时间，我们从两侧同时捏合，从而形成两个奇异点 S1 和 S2，随后形成两对尖点。此时，如果没有卡纸、剪刀和胶带，你就难办了。
图板7：我们只是让各个尖点发生了迁移。如果点 C2 显而易见，那么识别点 C3 和 C4 为尖点则会稍显困难。然而，它们确实位于自交线的末端。在点 C3 上方，是我所谓的“正角点”（posicoin），即正曲率的集中点（负曲率的集中点称为“负角点”negacoin）。稍微变形此物体，即可得到施泰纳罗马曲面的多面体形式（这是施泰纳在罗马发明的四次曲面。参见其虚拟现实演示）。
至此，大功告成。根据我们设定的规则，存在不同类型的曲面。不自交的曲面称为嵌入（embedding）（例如球面、环面嵌入到 R3 中）。当曲面自交但切平面连续变化时，称为浸入（immersion）。例如：经典表示中的克莱因瓶。在 R3 中，克莱因瓶不存在嵌入表示，它必然自交。浸入具有不含尖点的自交集。这些曲线是连续的，但可以在二重或三重交点处相交。注：球面可以通过使其自交而呈现为浸入形式。事实上，这正是实现球面外翻（turning inside out）的方法（A. Phillips, 1967，其中关键步骤是博伊曲面的二叶覆盖；B. Morin 和 J.P. Petit, 1979，其核心模型为莫林四耳模型，以下是我约十年前发明的该模型的多面体表示）。
如果我们扩展规则，假设这些物体允许存在尖点，则得到浸没（submersion）（如交叉帽、施泰纳罗马曲面）。我不确定这是否是准确的术语，但由于我未能找到能够为我解惑的数学家，我觉得暂时发明一个词挺有趣，直到有几何学专家出面澄清为止。因此，交叉帽和施泰纳罗马曲面可被视为“射影平面”的浸没。
坦白说，在经历二十五年的磁流体力学（MHD）挫折后，我之所以开始这项研究，是因为我觉得它离任何军事应用都尽可能遥远。然而，正如我的老友米恩（Mihn）指出的那样，“浸没”（submersion）一词可能引起误解，让法国海军以为我试图通过这项研究隐藏某种水下推进技术的突破。
尖点对的“创生-湮灭”规则允许我们从一种物体的浸没过渡到另一种物体的浸没，这正是我们刚刚所做的：我们展示了交叉帽和施泰纳罗马曲面是同一物体——称为射影平面——的两种浸没。不要试图去想象“射影平面”长什么样。这个物体只能通过其不同的表示形式来理解。至于“射影平面”这个词，不过是数学家们发明的成千上万个术语之一，旨在迷惑那些试图进入他们封闭圈子的人。在数学领域，《拉鲁斯词典》对你毫无用处。
接下来，我们将转向博伊曲面，它是射影平面的一种浸入。
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