如何通过施泰纳罗马曲面，将交叉帽变换为博伊曲面（左向或右向，任选）。
2003年9月27日
第4页
于是从另一个角度展示该模型：
图版14：重新进行同一操作，创建自交曲线的第三只“耳朵”。在多面体形式中，它呈三个共用一个顶点的正方形之形：三重点T。
图版15：旋转物体，您便重新找到博伊曲面的多面体版本——那是我曾发明并在《Topologicon》中展示的版本（其中附有可供构建的展开图）。
最后一图版：我尝试描绘施泰纳曲面（四次曲面，而博伊曲面为六次曲面）扭动并转变为博伊曲面的过程。
可见，在“圆滚滚”的形态下，需要相当的习惯才能理解该物体。当涉及理解在同一视线方向上叠合着两张以上叶片的物体时，我们的眼睛非常不适。因此多面体形式自有其价值：它让被视为几何学中高深的变换变得人人可及——只要人们肯亲自动手构建模型。顺带注意到，根据所选尖点对的不同，会得到“左向”或“右向”的博伊曲面（这两个词纯属任意）。射影平面以两种“对映”的、镜像的方式浸入。可见，通过一个“居中”的模型——即施泰纳罗马曲面——可以从右向博伊曲面过渡到左向博伊曲面。
这样的图若能发表在《Pour la Science》或《La Recherche》上想必不错。但二十年来，我因“飞碟学偏差主义”之罪而被这些杂志“禁止发表”。多谢Hervé This先生和Philippe Boulanger先生。我寄给这些杂志又被客气退回的此类文章已数不清了。人终究会习惯自己被逐出教门的身份。
作为轶事，法国设有一项“达朗贝尔奖”，旨在奖励数学科普书籍的作者。这故事是负责决定奖项归属的委员会一位成员讲给我听的（毕竟奖金还是有几个子儿的）。对话如下：
——可是，难道就不能把奖颁给Petit吗？他写过《Géométricon》《黑洞》和《Topologicon》这样的杰作。
——不错，但他不只写了这些画册。
——您指的是什么？
——他还写了《沉默之墙》。
——啊，既然如此……
可不是嘛，1983年出版的《沉默之墙》是一本专讲磁流体力学的画册。而众所周知，这门遭人疑忌的科学，其本领或曰刁钻之处，正在于能让飞碟以超音速飞行而不产生音爆。
藏起这门科学，叫我看不见它
我的抽屉里有一份绝妙的“立方体翻转”版本，配有一个美轮美奂的居中模型，并非莫兰变体的多面体版本。全是我自己的创作。改日再说……
2003年10月22日：照计数器上的数字看，这些页面并不拥挤。10月13日星期一，应Trotman之邀，我在CMI（马赛Château-Gombert数学与信息学中心）做了一场报告。借此机会，我摆出了一套约三十件的纸板模型，诸位日后将先睹为快，这些已由Christophe Tardy拍摄。
做报告时，会弥漫出一种气氛。下一张照片中，一位几何学家正表达他的困惑。
背景中是部分展出的模型。某一刻我提了个问题：
——有谁见过施泰纳罗马曲面？请举手。
没有人见过。于是我判断有必要在我带来的笔记本电脑上以虚拟现实方式展示该物体，该物体是在工程师Christophe Tardy和格勒诺布尔劳厄-朗之万研究所（ILL）的Frédéric Descamp协助下完成的。显然，这一展示令听众不知所措，他们不习惯看到数学曲面随意翻飞。
前景中可见的两块纸板，用以按逻辑顺序展示后续模型。“绿色和黄色”模型以多面体形式说明了创造—消灭一对尖点的基本工具。最远处那个白色物体是交叉帽的多面体版本，它先在一米开外转变为施泰纳罗马曲面的多面体版本，随后可随意转变为“右向”或“左向”博伊曲面。
对模型的分析在听众中引出各种议论。一位几何学家问道：
——如果顺着这个方向跟着模型走，可以从交叉帽过渡到博伊曲面，那么反过来做，似乎就应该能把博伊曲面变换成交叉帽。
我作了肯定回答。我的对话者胆子大了些，又补充道：
——如果到了施泰纳罗马曲面这一步就停下，那就有可能转而走向镜像的博伊曲面。
我第二次表示赞同。但可惜没有人自告奋勇来阐明这个奇异的世界——在那里，闭曲面的浸入被赋予成对创造或消灭的尖点，整体构成某种浸入世界的扩展。“submersions”（淹没）一词我觉得颇为得体。若有读者找到阐明之道，欢迎赐教。
集中于一个尖点的曲率
将通过把顶点处的角相加，并将该和与欧几里得和2π比较来计算。
左上角画出了尖点的多种多面体表示之一。对该物体进行“拆解”（右图）得到的和超出欧几里得和2π，超出量为2α。由此推知，集中于该点C邻域的角曲率为-2α。若角α等于π/2，则负曲率等于c（左下角图）。事实上，集中于一个尖点的曲率可以取无穷多个值。右下角加大了角和，曲率于是<2α。负曲率被加大。
反向操作，则可得出一个相当惊人的情形：使集中于C的（角）曲率……为零：
现在可以从交叉帽的一个多面体表示出发，其中有两个尖点，各对应等于**-π**的负曲率：
有八个“正角”对应+π/2的值。再加上四个曲率为+π/4的“正角”和四个曲率为-π/4的“负角”。
外加两个曲率为-π的尖点。
总计：2π
将这一总曲率除以2π，便重新得到射影平面（如博伊曲面）一切表示的欧拉-庞加莱示性数。
在我的报告中，我提到了调换交叉帽两个尖点的方式方法，用的是球面的翻转。我已不记得是否把这一点放进了网站的某处。实在太乱了。得找找，否则就放到某处去。这挺有趣的。总之，这一表演不太讨报告在座某位的喜欢。
——我不明白Petit为什么用这么一套玩意儿来证明交叉帽两个尖点之间的对称性。有简单得多的办法。
他在黑板上画了一个被两根直尺压扁、并使两尺合拢的球面图像，那确实给出一个以线段为自交集合、两端各有一个尖点的结果，正如交叉帽的情形。可惜，我们这位先生也发觉了，那并不是交叉帽。
——见鬼，那到底是什么？有人问。
那不过是一个带有两个尖点的球面。若使两尖点汇合，便得到一条自交线，随即变成一个简单的圆。左下（剖面）便得到一个球面的浸入，只消把它变回嵌入即可。此外还可以过渡到该曲面的多面体表示：
它是双侧的，曲率为2π。
可见，用这些“submersions”可以玩得很开心。取一个环面的浸入，做法是让“无穷”符号或“8”字绕一轴旋转。
尖点汇合的技术将使我们很快达到环面的标准嵌入，如下列各图所示。
但事情有时并不那么容易和显然。比如我拿一个球面，把它压在两条线段之间，这回线段长度小于直径。仍然得到两个尖点。
由于可以在其中内接一条莫比乌斯带，该曲面是单侧的。图中画出了它的多面体表示，可用来计算其总曲率。结果算得零。若我没弄错，那这该是克莱因瓶。人们一般只知道最经典的那种浸入，其自交线是一个简单的圆。但还有别的，比如这一个。我承认还没找到如何把上述物体变换成克莱因瓶的浸入。再说，我也不知道不同的浸入是否属于同一同伦群（球面只有一个）。先验地看不是，因为环面能以四种不同方式浸入，彼此无法用正则同伦联系起来。在等待期间，我自娱自乐地把这个曲面又添了两个尖点加以变换，于是得到两个由一根管子相连的交叉帽。把它们拆解，便重新得到一个等于零的欧拉-庞加莱示性数。
这个“怪曲面”应该能变换成克莱因瓶的某种浸入。但究竟是哪一种？无论如何，这里有一个，是把“8”字绕一轴旋转、并额外让它转半圈得到的：
自2003年10月6日以来的访问次数：