立方体翻转变形的中心模型
2001年12月31日
你们一定都见过，在网站首页左侧，有一个奇怪的物体在不知疲倦地旋转。那是什么？
有一天，当我有空闲时间时，我将在网站上发布关于球面翻转变形的描述，正如我在1979年1月的《科学》（Pour la science）杂志中所展示的那样，那是……22年前的事了。当然，这需要大量的细节和引言。翻转一个球面意味着什么？对于普通人和数学家-几何学家来说，球面的含义并不相同。对于普通人而言，球面被定义为三维空间中到一个固定点O距离为R的所有点的集合。几何学家将继续把对应于“变形球面”（一种类似“土豆”的形状）的物体称为“球面”。为了更精确地理解这些概念，请获取包含漫画《拓扑学纲要》（Le Topologicon）的CD Lanturlu。但数学家走得更远。当一个曲面被称为“正则”时，可以在其每一点上定义一个切平面。这已经允许我们将“初始球面”变形为无穷多种“土豆”形状，而且该曲面的面积可以是任意值。然而，在一个“物理宇宙”中，变形这个球面的人会遇到无法使其自我相交的困难。如果禁止这些相交甚至接触，我们就会谈论球面S2的嵌入（plongements）。但数学家赋予自己所有权利。对他来说，球面是一个“虚拟”对象，其中曲面的自相交成为可能。下面的图序列展示了一个“自我相交”的球面。这种球面的表示被称为浸入（immersion）。
浸入具有一组自相交或自交线（这里是一条简单的圆形曲线）。切平面必须连续变化。尽管如此，当我们观察上面的图时，可以看到该操作确实将球内部的一部分（用绿色表示）翻转到外部。要完成这样的翻转，需要压扁这种赤道处的“香肠状”结构。这似乎先验地是个问题。这种压扁会破坏切平面的连续性。因此，该操作将包含一个不是浸入的步骤。
有一天，美国数学家斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）证明了“球面S2只有一种浸入类”。这句晦涩话语的推论是，我们应该能够链接一系列球面浸入，从而从“标准球面”过渡到其“对跖”表示，即所有点都被其对跖点替换。简而言之……一个翻转过来的球面，正反面互换。劳尔·博特（Raoul Bott）是斯梅尔的导师。斯梅尔纯粹形式化的证明似乎无懈可击，但没有人知道如何实现这一操作。博特不断对斯梅尔说：“向我展示你打算如何进行”，而斯梅尔以其著名的口齿不清回答：“我完全不知道。”斯梅尔后来获得了菲尔兹奖，相当于数学界的诺贝尔奖。顺便说一句，你们可能会问，为什么诺贝尔从未设立数学诺贝尔奖。答案很简单：他的妻子跟一个数学家跑了。
这种情况持续了很多年，直到美国数学家安东尼·菲利普斯（Anthony Phillips）于1967年在《科学美国人》（Scientific American）上发表了这个翻转的第一个版本，极其复杂。第二个版本是由法国（盲人）数学家伯纳德·莫兰（Bernard Morin）在20世纪70年代初发明的。我是第一个绘制这一系列变换的人，正如我之前所说，这将成为网站上下一篇相当详尽的文章的主题。无论如何，这引出了一个附带结论。曲面可以有多面体表示。立方体或四面体可以被视为球面的多面体表示，只要这些物体具有相同的拓扑结构。关于这一点，请参阅我的漫画《拓扑学纲要》。此外，我们可以理解，如果球面可以翻转，那么立方体也可以翻转。伯纳德·莫兰发明的变换（我在1979年1月的《科学》杂志文章中进行了插图说明）经过一个中心模型。这个序列中存在对称性。这就是所谓的“四耳中心模型”。这里我又提前说明了。但正如球面可以有多种多面体表示一样，这些变换的连续步骤也是如此。你在我的首页上看到的旋转物体，正是球面翻转变形中心模型的多面体版本，这是我大约十年前发明的。这些多面体模型的优点在于可以用平面构建。它们甚至可以根据剪裁图进行组装。请看下面的图（顺便感谢我的朋友克里斯托夫·塔尔迪（Christophe Tardy），他制作了正确标注尺寸的部件）。
这是一张打印出来会很小、无法使用的图。
在A4纸上打印此图
然后需要用厚A4纸复印四份，两张一种颜色，两张另一种颜色。
这是一个剪裁图，这里展示的是其总体视图。但为了打印，最好转到剪裁页面。打印它。然后，拿着用普通打印机纸打印的这份副本，去复印店，复印四份相同的图，两份在绿色卡纸上，两份在黄色卡纸上。你将能够利用这个剪裁图，构建立方体翻转变形的中心模型。
在这些剪裁好的部件上，有成对的字母：a, b, c, d, e, f 等等……你只需要进行折叠，使相同的字母重合，然后用透明胶带将这些面组装起来。下面的图展示了如何组装四个部件中的一个。首先，这是开始折叠四个部件中一个的方法：
这是四个部件中的两个，从不同角度观看。
这些部件随后组合成一个具有四阶对称性的物体，或者交替排列绿色和黄色部件。要查看3D效果，请去看塔尔迪先生的“虚拟现实”作品。完全组装好的中心模型也在此部分以“vrml”格式提供。以下是从不同角度看到的这个物体：
我们不能说一个视图对应“顶部”，另一个对应“底部”，因为这些名称将是完全任意的。在左视图中，“中心”点对应于莫兰中心模型的“双重点”（两个曲面相交的地方），而右视图的中心点相当于该模型的“四重点”（四个曲面相交的地方）。我不得不仔细定向物体，以免左图让人联想到纳粹十字。否则，从建筑角度来说，莫兰中心模型的这种多面体表示本可以成为一个非常好的国家社会主义文化之家项目。
最后一个视图：
最后一点说明：不存在球面翻转变形（又称立方体翻转变形）的良好多面体表示。所谓“良好”，是指一系列足够明确的模型，可以像上述模型一样，相对容易地通过剪裁图组装起来。在这方面需要进行研究，这是任何人都可以做到的，甚至非数学家，例如造型艺术家。二十多年前，我在艾克斯普罗旺斯美术学院教授雕塑，当时该校仍由我优秀的雅克·布利耶（Jacques Boullier）领导。正是在那里，首次使用椭圆绘制了博伊曲面（surface de Boy）的子午线表示，这是阿佩里（Apéry）构建第一个隐式方程的关键。我必须说，当时我总是对艺术系学生的几何想象力感到惊讶，他们的想象力常常超越……几何学家。
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