四元数

球面S3与四元数

BK

如果说球面S3比球面S2更像圆周S1，那是因为两者都对应于某个数域的单位群：S1对应复数域，S3对应四元数域。但这对于S2行不通，因为R3不是一个数域。

为了理解这些结构，我将回顾如何通过把R2嵌入到实系数方阵2×2的代数中，使其成为一个数域。随后我们将看到，类似的构造可以通过把R4嵌入到复系数方阵2×2的代数中，赋予其一个域结构（四元数域）。

1. 复数域

设M2(R)为实系数矩阵2×2的空间。这是形如

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

的矩阵空间，其中a、b、c、d为实数。我们知道：

1. 可以将**M2(R)**中的两个矩阵相加，

2. 可以将**M2(R)**中的一个矩阵乘以一个实数，

3. 可以将**M2(R)**中的两个矩阵相乘。

概括这三条性质，我们说M2(R)是一个代数**。它的维数为4，因为描述它需要4个参数。

对于平面R2中的任意向量(x,y)，可以关联一个实系数方阵

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

于是我们注意到：

1. 两个这样的矩阵之和仍是相同形式

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. 这样的矩阵z乘以实数l后仍是这种类型

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|---|

3. 两个这样的矩阵的矩阵乘积也是如此

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

因此我们构造了M2(R)的一个子空间，记作C，它对加法、数乘和矩阵乘法封闭。我们说C是M2(R)的一个子代数。它的维数为2。可以注意到这个代数的一个重要性质：它是交换的

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

属于C的矩阵z的行列式写作

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

因此，C中任何非零矩阵z都是可逆的，其逆

--- ****

æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

也属于C。我们说C是一个域。我们刚刚只是重新发现了复数域。

对应于向量(1,0)的矩阵是单位矩阵****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

对应于向量(0,1)的矩阵，我们记作i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

它具有显著性质

i

2

=

1

i

2

=

1

有了这些记号，我们看到任何复数都可以唯一地写作

其中x和y是实数。

C中元素z的共轭定义为矩阵z的转置

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

在复数域中有两个值得注意的子空间。一方面有单位矩阵1的倍数，即形如

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

的矩阵集合，它对加法和乘法封闭。这就是实空间，与实数域相同，表现为C的一个子域。它也由方程

定义。

还有迹为零的矩阵z的子空间（矩阵的迹是其对角元素之和）

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

我们称之为虚空间。它对加法封闭，但对乘法不封闭。我们还注意到它也是反对称2×2矩阵的空间。

有了这些定义，R2中两个向量的通常标量积很容易计算。如果z1是对应于(x1,y1)的矩阵，z2是对应于(x2,y2)的矩阵，那么 --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

对应于z的向量(x,y)的范数写作

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

我们也称之为复数z的模或范数，记作| z|。当然有| z1z2| = | z1|| z2|。

域C的单位子群，记作U(1)，是C中满足

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

的元素z的集合。这个集合对乘法封闭。元素1属于U(1)。U(1)的每个元素都可逆，其逆仍在U(1)中。我们说U(1)是一个群。注意U(1)中两个元素之和一般不在U(1)中。因此前面的构造使圆周S1作为一个群出现，即C的单位元素群。圆周S1在点1处的切线，即群**U(1)**的所谓李代数，是由

定义的虚直线。

2 四元数域

定义。

我们重新采用前面的构造，赋予R4一个域结构。设M2(C)为复系数矩阵2×2**的空间。对于任意一对复数(a,b)，可以关联一个复系数方阵

于是我们注意到：

1. 两个这样的矩阵之和仍是相同形式

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. 这样的矩阵q乘以实数l后仍是这种类型

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|---|---|

3. 两个这样的矩阵的矩阵乘积也是如此

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

因此我们构造了M2(C)的一个子代数，记作K。但与C不同，这个代数不是交换的。例如，我们有

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

而

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

属于K的矩阵q的行列式写作

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|---|---|

因此，K中任何非零矩阵q都是可逆的，其逆

--- ****

æ ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

也属于K。我们称K为四元数域。它也是一个实向量空间，维数为4。任何四元数q都可以写作

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

其中

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

不难验证以下关系：

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J。

R4中由四元数

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

和

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

表示的两个向量的通常标量积写作

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

由q表示的向量(t,x,y,z)的范数写作

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

我们也称之为四元数q的模或范数，记作| q|。当然有| q1q2| = | q1|| q2|。

实四元数和虚四元数。

K中元素q的共轭定义为q的共轭矩阵的转置

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

一个四元数q若形如

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

其中t为实数，则称为实四元数。这允许将R等同于K的一个子域。实四元数子空间由方程

| q = | - | q |
|---|

定义。

我们还通过方程

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

定义虚四元数空间H。这是一个维数为3的空间，由I、J、K生成。它也被定义为M2(C)中反厄米**矩阵M的空间

M = t`M = - M*

（*M**是复共轭元素矩阵的转置），且迹为零

| Tr | (M) =0 |
|---|

注1： 在域C的情形中，我们曾指出虚空间由反对称实2×2矩阵构成。但反对称*矩阵 *

tM = - M * 的迹必然为零，而反厄米矩阵 *

M = t`M = - M .* 则不然。*

单位群。 * *

域K的单位子群，记作SU(2)，是K中满足

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

的元素q的集合。这是属于球面S3的点的集合，球面S3因此带有一个群结构，即群SU(2)。球面S3的切空间（维数为3），即群SU(2)的所谓李代数**，是由

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

定义的虚空间。

可以验证，H中两个元素X和Y的李括号

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

仍属于H。

球面S3在任意点q处的切空间，可以通过将虚空间H的元素左乘q得到

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

球面S3上从点1出发、沿方向X（其中X属于H且| X| = 1）的每条测地线由

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

定义。

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