数学物理与几何
物理与几何
2004年11月2日
数学物理，其奠基人之一为数学家让-玛丽·苏里奥，其核心路径正是几何学。在整个研究过程中，诸如能量、质量、动量、自旋、电荷等物理量，均通过一个工具——群论，转化为纯粹几何性质的量。要进入这一世界，或以这种方式理解宇宙，需要的其实不多：只需掌握矩阵的运算即可。如果你对矩阵尚不熟悉，请努力去了解它，这绝对值得。如果你曾学过相关知识，但已遗忘，请重新温习，这些知识将带你走得更远，并帮助你回答诸如：
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粒子自旋的本质究竟是什么？
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反物质到底是什么？
庞加莱群在动量空间上的伴随作用
注意：仅限科学背景较强者阅读。本文并非科普性质。
2004年10月24日
物理与几何始终紧密相连。数学家让-玛丽·苏里奥是“数学物理”的奠基人之一。这一学科的核心在于“物理的几何化”，极为优雅。整个理论体系建立在实系数群之上，例如洛伦兹群和庞加莱群，它们在此以实系数矩阵的形式呈现。接下来的内容从一个唯一的矩阵 G 出发，该矩阵与闵可夫斯基空间的度量相关，而闵可夫斯基空间正是狭义相对论所描述的空间。通过这个矩阵，我们定义了第一个群 L，其元素为4×4的矩阵。该群作用于时空，即由事件点构成的空间。接着，利用这些矩阵和一个“时空平移向量”C，我们构造出第二个群，其元素为5×5的矩阵，同样作用于时空。在这一时空中，我们将考虑“运动”的概念。轨迹这一概念过于贫乏。一个粒子的运动必须与能量 E、动量 p 等物理量相关联。对理论物理学家而言，一个“质点”还应具有自旋。但这样的物体究竟是什么？一个质点是否能“自身旋转”？
苏里奥从群论出发，以几何方式引入了这些物理量。尽管我承认，这一切确实相当艰深。一个群“作用”于某物。因此，一切始于“作用”这一概念。庞加莱群的一个元素，可以将一个运动变换为另一个运动，而后者仍属于运动空间，即时空。一个群“传递”事物。例如，欧几里得群包含三维空间中的平移与旋转，它能够将点或点集从一处移动到另一处。这一思想非常直观。当涉及时空时，我们“传递”的是“运动”。设想两个完全相同的烟灰缸，位于三维空间中两个不同位置。总存在欧几里得群中的某个元素，通过一次平移和一次旋转，将第一个烟灰缸移动到第二个位置。借助群的作用，只要我们知道某处烟灰缸的描述，就可以构造出“所有可能的烟灰缸”——存在于空间中所有位置、所有朝向的烟灰缸。
在时空中，对象是“运动”。庞加莱群所处理的运动，对应于一个“相对论性质点”的运动。同样地，只要知道其中一个运动，就等于知道所有运动。而一个粒子，正是质点运动的一种特殊形式。我们可以用一句话来概括这种看待事物的方式：
“告诉我你是如何运动的，我就能告诉你你是谁。”
苏里奥指出，运动空间必须与另一个空间相关联，他称之为“动量空间”。这里的“动量”指的是与特定粒子相关的参数。当某一粒子以某种方式被“观测”时，即在合适的坐标系中被描述时，有三个量会凸显出来：
E, p, s
即能量 E、动量 p，以及那个神秘的量——自旋 s。这些量通过“群在自身动量空间上的伴随作用”，以纯粹几何的形式显现出来。
目前，天体物理学家正在研究一种被称为“暗能量”的对象，它似乎是解释宇宙加速膨胀现象的唯一新成分，而这一现象源于遥远超新星的观测。这种“暗能量”是……负的。我们将会看到，本文所介绍的方法同样会导致负能量物质点的存在，这仅仅是庞加莱群性质的自然结果，而该群有能力产生此类运动。在进入这一讨论之前，科学读者有必要先阅读并理解本文。从计算技术角度看，本文仅需掌握矩阵运算即可。15年前，这属于高中理科（高三）的水平，但据说如今矩阵已不再教授于该阶段。可惜，矩阵是一种极为重要的工具，但这种删减或许正是“课程现代化”的体现。
负能量粒子
2004年10月25日
在当前的天体物理学中，理论学家们越来越关注他们所称的“暗能量”——一种负的能量，被认为是导致宇宙加速膨胀现象的原因，该现象由遥远超新星的观测所揭示。
物理中的动态群理论（庞加莱群）为这一棘手问题提供了新的洞见。再次强调，本文仅适合科学背景较强者或高度“科学导向”的读者。
电荷：一个几何对象
2004年11月9日
通过数学家让-玛丽·苏里奥的一项发明——群在动量空间上的伴随作用，我们回顾了他是如何将能量、动量与自旋这些量，以纯粹几何的方式呈现出来的。接下来，我们将继续探讨他如何通过类似方法，使电荷也以纯粹几何的形式浮现。他在此基础上，将四维时空扩展为五维空间。这个五维空间由一个十一维的新动态群所支配，它是庞加莱群的一种非平凡推广。群的维度增加，相应地，动量的分量也增加，而这一新增的第十一维，被识别为电荷 q。
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