法文原文
第三届卡尔·施瓦茨希尔德会议报告
德国法兰克福，FIAS（高等研究院）
2017年7月24日至28日
2017年8月2日
我刚刚从在德国法兰克福举行的第三届卡尔·施瓦茨希尔德会议归来，该会议聚焦于引力物理与规范/引力对应关系，由享有盛誉的FIAS（法兰克福高等研究院）主办。
我对于海报内容犹豫不决，最终决定展示我由两个耦合场方程构成的系统——这是“雅努斯宇宙模型”的核心。
这个主题与会议中心议题“黑洞物理”并不完全契合。这本是我计划稍后探讨的内容，但2015年我在《现代物理学快报A》上发表的一篇文章：
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 mars 2015).
"Annulation de la singularité centrale de la solution de Schwarzschild par un processus naturel d'inversion de masse"
.
Modern Physics Letters A
.
30
(9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
是我迄今为止经过同行评审发表的最接近的内容。由于海报旁边有一块黑板，我便在上面简要写下这篇文章的要点：
这引起了极大的关注。与会者纷纷拍照，人群逐渐聚集。一位约六十岁的资深研究者立即质疑：1916年施瓦茨希尔德发现的度规解中的所有奇点，是否真的能通过一个简单的变量变换就完全消除？由于他没有佩戴徽章（与其他参会者不同），我推断他应是法兰克福高等研究院（FIAS）的成员，该机构主办了本次会议。以下是这一变量变换：
终于出现了一位真正的批评者！为了进一步阐明，我迅速在一张纸上写下全部计算细节，并递给了我的专家。他接过纸张，稍退几步，坐到椅子上，低头专注地研究了十五分钟。
所有人都在等待他的结论。最终，他点头表示认可，将纸还给了我。他脸上流露出深深的困惑。我想他心里一定在想：
“我从未见过这种情况。显然，这位法国人一定在某处犯了错误，只是我还没发现。我会在稍后找到它。”
我试图让他参与到这一问题中来，这涉及对1916年卡尔·施瓦茨希尔德研究成果的诠释（会议正是以“卡尔·施瓦茨希尔德会议”命名！）。我问他是否读过发表于普鲁士科学院报告上的原始论文，其中详细描述了如今被称为“施瓦茨希尔德外部解”的内容：
Schwarzschild, K. (13 janvier 1916).
"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 189–196
英文翻译为：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mai 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9905030 [physics.hist-ph]
以及他数周后发表的第二篇文章（在他去世前不足三个月）——“施瓦茨希尔德内部解”：
Schwarzschild, K. (24 février 1916).
"Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 424–434
英文翻译为：
Antoci, S. (12 mai 1999). "On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9912033 [physics.hist-ph]
他承认自己从未读过这些文章（！），并补充道：
— 你会德语吗？
— 不会，但我读过相对近期的英文翻译（1999年），尽管这些文章已有一百年的历史。我电脑里就有这些资料。你愿意一起查阅吗？此外，还有大卫·希尔伯特于1916年12月发表的一篇极为重要的文章，该文在他去世后重新整理了施瓦茨希尔德的工作。
Hilbert, D. (23 décembre 1916).
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.)
. 53–76.
英文翻译为：
Renn, J. (2007). "The Foundations of Physics (Second Communication)".
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics. Springer. 1017–1038.
他回避了这个问题，说他也不了解那篇文章（！）
事实上，我在法兰克福的真正发现是：那些“黑洞专家”[
]根本不知道他们所声称发展的理论赖以建立的奠基性文献。在全体与会者面前的一场主旨演讲中，现代黑洞理论的重要人物胡安·马尔达西那（Juan Maldacena）开场便说（如会议简报所述）：
胡安·马尔达西那
— 施瓦茨希尔德解困扰了我们一个世纪之久，迫使我们不断深化对时空的理解。它推动了爱因斯坦理论的更精确理解。实验上，它解释了多项天体物理观测。其量子特性引发了理论悖论，促使我们更深入地理解时空几何与量子力学之间的关系。
那么，具体意义何在？
首先，是“霍金辐射”的“发现”。实际上，这一切都建立在广义相对论与量子力学结合的设想之上。我们清楚地知道，这种结合从未真正实现（引力拒绝被量子化，这将导致引力子——一种自旋为2的粒子——的出现，但至今仍未被发现）。
现代理论物理学家坚信这种幻想是真实存在的。正是通过在事件视界附近引入一种量子现象，霍金“证明”了黑洞可以损失能量并“辐射”。这立即引发了黑洞信息悖论。事实上，在被称为黑洞的物体中，所有结构都应被彻底摧毁。一切将完全消失。因此，黑洞被视为“信息毁灭机器”。随后，马尔达西那简要介绍了“黑洞热力学”的进展。特别是他强调：“黑洞熵与表面积成正比”。
总而言之，在过去几十年里，理论物理学家的全部注意力都集中在如何解决这一信息悖论上。你们可能听说过“火墙”等概念。在最近的工作中，马尔达西那引入了一个新的“魔法词”：
纠缠。
这一概念源自量子力学和著名的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森（EPR）悖论，我在视频《JANUS 6》（14:04处）中已有描述。在这一著名实验中，两个发射出的光子是“纠缠”的。简而言之，根据马尔达西那的观点，“纠缠”能提供所有答案。这再配上一点弦理论。
这种言论正是2017年理论物理学的典范。
与会者显然提到了JANUS系列视频（详见完整播放列表）。得益于朱利安·热弗雷的杰出工作，这些视频已翻译成英文并配有字幕，会议开幕时已有六部完成（JANUS 14至19）。正是在此时我们意识到，准确的英文翻译是被法国以外世界听到的绝对必要条件。我无法提供蹩脚的英文翻译：外国用户会立刻跳过。热弗雷跟随我的工作已有二十年，精通莎士比亚的语言，是唯一能胜任这项极其细致的工作的人——每部视频需要2至3天的精心制作。每部视频包含15,000至20,000个字符，文本中包含大量专业术语需准确翻译，视觉布局和字幕时间校准需精确到十分之一秒，还需创建指向我已发表文章和科学漫画的链接。
看到非法语使用者的反响后，我意识到必须将整个JANUS系列视频全部翻译成英文。我们重新谈判了价格以扩大翻译范围，但预算仍高达20多部视频。
互联网用户响应号召，通过PayPal捐款。这些资金使我能够出国并参加国际会议（注册费、差旅和住宿费），以及完成字幕工作。我特别说明，我将继续每月制作两部视频（是的，还会有关于量子力学的JANUS视频）。我认为这是明智的投资，因为尽管网站上的文字常被遗忘，但视频却能无限期持续传播，是现代沟通的最佳工具。
2018年春季前预算（字幕+会议）：20,000欧元
揭示真相是有代价的。
如果互联网用户捐赠的资金（在此向他们致以衷心感谢！）足以保障我参加接下来的会议（施瓦茨希尔德会议，法兰克福；随后是巴黎COSMO-17……），我仍需额外帮助来承担字幕费用和后续会议开支。
视频影响：在施瓦茨希尔德会议上，年轻研究者的反应。其中一位意大利青年最终对我说：
— 我看过你关于雅努斯宇宙模型的文章
（他具备理解内容的专业知识）
。我看着你在这里受到的对待。你怎么能指望这些人不转过身去？你提出的东西，是要摧毁他们工作的根基！
我与这位年轻人建立了联系并保持沟通。他在意大利从事修正牛顿动力学（MOND）的研究。这是一颗种子的萌芽。如果我继续在国际会议上“吸引”年轻一代，还会有更多这样的联系，很可能不会来自那些以我所提及的“奇幻作品”建立声誉的人。
总有一天，有些人会说：
“我并不真正相信MOND理论，但如果我尝试看看这位法国物理学家的想法会导向何方？”
这些联系和交流将因这些年轻研究者能观看视频，并在与我见面时查阅雅努斯模型的文章而变得更容易。
在法兰克福，大多数报告都围绕“黑洞物理”展开，讨论“如果你能观察到它，你会看到什么……”。他们还引入了“全息宇宙”的新概念（我必须制作一部视频来解释全息图的真实含义）。一位女性指出：“我们不应害怕宇宙弦。” 另一位展示了在宇宙膨胀的暴胀阶段可能形成的小黑洞对。再加入与弦理论、膜碰撞相关的各种故事。而我几乎唯一一个提出可与观测对比的工作和结果的人。
如果我想唤醒宇宙学界，使其作出反应，就必须攻击他们最珍爱的孩子——黑洞，这是我本以为要很久以后才不得不做的事。但法兰克福会议的氛围促使我纠正这一状况，因此我下一部视频的标题将是：
JANUS 21：黑洞源于对卡尔·施瓦茨希尔德1916年解的错误诠释
这也将是我参加巴黎COSMO-17国际会议时的发言。我不会提出黑洞的替代模型（至少现在不会），而是明确要求：
— 目前这个被称为“黑洞”的模型是自相矛盾的，因为它与卡尔·施瓦茨希尔德1916年发现的解不一致，而我已证明这一点。
德国数学家卡尔·施瓦茨希尔德于1916年5月11日，在波茨坦去世，年仅43岁，距离他发表解的论文仅三个月。
该解由施瓦茨希尔德于1916年发现，并以以下形式发表：
Schwarzschild, K. (13 janvier 1916).
"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 189–196
英文翻译为：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mai 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9905030 [physics.hist-ph]
在第一篇论文中，施瓦茨希尔德明确定义了一个坐标 r 为“极坐标”：
但他引入了一个他称之为辅助量 R，并通过它在1916年1月表达了他著名的“外部解”：
无需数学专家也能看出，由于施瓦茨希尔德选择的变量 r（如上定义）严格为正，中间量 R 并非自由变量，而是有下限 α：
施瓦茨希尔德于1916年5月11日在波茨坦去世，年仅43岁，距离他首次发表论文仅数月。
该工作在1916年12月由德国著名数学家大卫·希尔伯特在哥廷根科学院的报告中重新提出：
1916年时，希尔伯特54岁。
他认为这种解的表达方式并不有趣，因此将奇点（在 R = α 处）“移”到了原点 r = 0。
希尔伯特的报告发表于1916年12月23日（施瓦茨希尔德已去世于5月）：
Hilbert, D. (23 décembre 1916).
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.)
. 53–76.
英文翻译为：
Renn, J. (2007). "The Foundations of Physics (Second Communication)".
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics. Springer. 1017–1038.
实际上，希尔伯特当时已在积极研究广义相对论，其文章标题为《物理学基础》。人们常误以为爱因斯坦是物理学家，而希尔伯特是纯粹数学家。事实上，希尔伯特并不太喜欢科学的技术方面。有一天，有人请他代替生病的同事费利克斯·克莱因，向工程学生做一场讲座。希尔伯特以一句玩笑开场：
— 人们常说科学家与工程师之间存在敌意。我不信。实际上，我确信这不真实。因为双方毫无关联，根本不可能有冲突。
但他的讽刺对象不仅是工程师。他还有一句著名的话：
— 物理学变得对物理学家来说太难了。
希尔伯特在数学上的贡献是巨大的。
还应指出——尽管我将在下一部视频中详细说明——施瓦茨希尔德不仅提供了“外部解”，还在一个月后发表了第二篇文章，构建了“内部解”（描述恒定密度球体内部的几何）：
Schwarzschild, K. (24 février 1916).
"Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 424–434
英文翻译为：
Antoci, S. (12 mai 1999). "On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9912033 [physics.hist-ph]
直到今天，当面对中子星等天体时，才出现关于“距离变量”不再可忽略于施瓦茨希尔德半径的问题。但那时，我们应选择希尔伯特的变量还是施瓦茨希尔德的变量？
于是理论家们提出赋予这一外部解以物理意义，称其描述了一种他们称之为“黑洞”的物体。几何上，必须回答：
— 按施瓦茨希尔德表示法，r = 0 处发生了什么？
— 按希尔伯特表示法，R < α（黑洞“内部”）处发生了什么？
我强调，第二个问题在施瓦茨希尔德表示法中根本不存在：你无需思考质量点“越过”α后会发生什么，因为这样的“内部”……并不存在。
相反，在希尔伯特表示法中，如果这个“内部”真的存在，那将非常奇怪：度规张量的符号将被改变，这使得现代理论家说：“在内部，r 变成时间，t 变成半径”。
在以下经过同行评审的文章中：
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 mars 2015).
"Annulation de la singularité centrale de la solution de Schwarzschild par un processus naturel d'inversion de masse"
.
Modern Physics Letters A
.
30
(9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
我提出了一种新的坐标选择，源自施瓦茨希尔德解，通过以下变量变换：
从而得到度规解的如下形式：
此时，无论变量取何值，该度规均保持光滑，唯一例外是第一项在原点处为零。相关的几何被解释为连接两个具有PT对称性的闵可夫斯基时空的通道，连接通过一个“喉部”球面进行，其周长为2πα。沿此球面，行列式为零，这反映了穿越该表面时空间和时间箭头的双重反转。
若使用施瓦茨希尔德给出的度规形式作为场方程解，并以坐标 (t, r, θ, φ) 表示，初看之下似乎“喉部”球面会坍缩为一个点，类似于圆锥的顶点：r = 0。但这相当于赋予该量“维度值”，而它实际上只是一个“空间标记”。在微分几何中，空间标记仅是一个用于定位某些点的数字。唯一具有实际意义的真实距离，即有物理意义的长度，是通过度规计算得出的。这些长度用字母 s 表示，无论选择何种坐标系，它们都是不变的（当你考虑两个由不同坐标系描述的相同路径时）。
解的球对称性允许固定三个坐标（t, r, φ），并沿坐标 θ 旋转2π。在希尔伯特表示法中，“喉部”对应 R = α。若 t = 常数，φ = 常数，并沿 θ 旋转，结果为2πα，即“喉部”球面上的大圆周长。
在自己的表示法（t, r, θ, φ）中重复此操作，“喉部”对应 ρ = 0。沿坐标 θ 旋转后，结果仍为2πα。
更令人惊讶的是，即使采用施瓦茨希尔德表示法，其中“喉部”对应 r = 0，我们仍然得到相同的长度2πα！这非常令人困惑，因为“围绕点 r = 0 旋转”竟然产生非零长度！这是因为 r ……根本不是一个点！这是微分几何和通过度规表示物体时一个令人费解的方面。
这一思想实验应使你明白：你不能再将 r 视为“有维度的长度”。正是由于所有人都将 r 想象为“径向距离”，才导致了混淆。
实际上，正是“维度”这个词造成了混乱。与其说“我们将用一组维度来定位该几何物体中的点”，我们更应说：
— 我们将用空间标记来定位该几何物体中的点：(x₀, x₁, x₂, x₃)
但即使字母 x 也可能具有误导性。为彻底消除 r 是径向距离变量并通向中心点的错误观念，空间标记应使用中性的希腊字母，如 β 或 ζ：(ζ₀, ζ₁, ζ₂, ζ₃)
回到度规的一般概念。在数学和几何学中，它究竟是什么？
地球并非平面，而是球形的。这对制图师是个问题。如果我们看地球仪上的大陆，一切正常。但如何将一个弯曲的世界绘制在平面上的纸张上？如何操作？需要建立多张地图，并将其组合成一个“地图集”。相邻地图可通过调整其经线和纬线的对应关系相互连接。
更一般地，可以使用这种技术来绘制任何曲面。例如汽车车身。地图集中每个平面元素对应一种局部度规描述。数学家和几何学家已将此概念扩展到由非欧几里得元素组成的地图集。想象一个没有纸张的世界，人们使用像干树叶一样裁剪成球形部分的材料，可堆叠形成一个奇特的弯曲地图集。一切都可以如此逐步绘制（甚至包括一张平面！）。
这种技术对要绘制的对象的拓扑没有任何限制。
选择用“极坐标”表示施瓦茨希尔德度规所描述的物体，隐含地假设了其拓扑结构。
接下来的核心思想是：解的度规“包含其自身的拓扑”，我们别无选择。我们完全放弃传统地图集的制图方法，想象该物体仅由其度规描述，该度规以一组“自洽坐标”表达——即与解所隐含的拓扑一致的坐标。核心原则是：
— 单位长度 s 必须处处为实数。
— 其结果：度规的符号必须保持不变。
基于这些评论和建议，我们便可以质疑充满多重病理的黑洞经典模型。这难道不是希尔伯特诠释这种几何的结果吗？他引入了“黑洞内部”这一幻象，通过“克鲁斯卡尔解析延拓”扩展解至整个时空——正如马尔达西那在演讲中所说：“它允许将解扩展到整个时空。” 事实上，黑洞研究者对所研究对象的拓扑结构抱有先入为主的观念。如何实现？
从拓扑学角度看，考虑一个二维表面。画一条闭合曲线，然后尝试将其周长缩小至零。有两种可能：
— 周长可以无限减小至零。
— 会达到一个最小极限。
这可以用以下图示说明：
如果二维居民问我们：
— 圆的中心是什么？
我们只能回答：这个问题毫无意义，因为这些圆根本没有中心。
当我们进入三维世界时，这种“可缩性”表现为将一个球体变形至表面积为零的可能性：
如果此操作可行，则该球体具有“内部”和“中心”。
但三维空间不一定是可缩的。如果不可缩，则在某些区域（表面具有二维球面拓扑），通过一系列同心近似球面（如削土豆）的“层化”将达到一个最小表面积。之后，若继续层化，表面积将再次上升，因为刚才穿过的最小表面积实际上是一个“喉部”。
这无法在三维中直接绘制，但参考上图，我们会在右侧看到最小值是一个喉部圆（红色）。这一切都可以推广到三维超曲面和任意维度的超曲面。
当马尔达西那称赞约瑟夫·克鲁斯卡尔“使我们能够将解扩展至整个时空”时，他并未意识到（如同成千上万之前的人一样），他无意识地假设了他所讨论的四维超曲面的拓扑结构：“时空”。
然而，这一尝试导致度规符号的改变，伴随着单位长度变为纯虚数。这仅仅表达了形式体系的“回应”：
— 注意！你已超出超曲面！
实际上，他想探索的是一段根本不存在的时空区域，就像一个几何学家构建解析延拓以研究环面切平面的性质——靠近其轴线，如同《爱丽丝梦游仙境》中一个疯狂机械师试图将零件粘贴到轮胎内壁靠近轮轴的区域……
如果我的观点正确，那么数十年来消耗了如此多纸张、墨水和脑力（包括量子脑力）去描述一个根本不存在的物体，以及其所蕴含的一切，如“中心奇点”的性质！我们不禁要问：为何这一切在整整一个世纪里似乎完全未被察觉？科学史家或许能给出答案。可以说，由于希尔伯特引入了虚时间的幻想，他传递了空间符号（– + + +）的概念，也许意味着在他之后无人关心单位长度平方的符号变化。但说这“仅是约定”是错误的。
然而，施瓦茨希尔德（和爱因斯坦）选择了时间符号（+ – – –），如施瓦茨希尔德论文所示：
相反，通过固定角度项的符号，希尔伯特隐含地将符号设定为（– + + +）：
希望探索这些问题的物理学家、学生和工程师可下载本文所列文章的英文翻译，包括最初发表于千年前德语的早期历史文献。这些文献很可能从未被我们现代的“黑洞专家”读过，他们似乎已与现实脱节，构建了一种无观测依据、缺乏严谨性的天体物理学。
• 历史文献：
施瓦西，K.（1916年1月13日）。
《论爱因斯坦理论中的质点引力》
。
《普鲁士科学院会议报告》柏林（物理-数学）1916年
。189–196
英文翻译：
安托奇，S.；洛因杰，A.（1999年5月12日）。《论爱因斯坦理论中质点的引力场》。
arXiv:physics/9905030
施瓦西，K.（1916年2月24日）。
《论爱因斯坦理论中不可压缩流体球体的引力场》
。
《普鲁士科学院会议报告》柏林（物理-数学）1916年
。424–434
英文翻译：
安托奇，S.（1999年5月12日）。《论爱因斯坦理论中不可压缩流体球体的引力场》。
arXiv:physics/9912033
弗兰克，Ph.（1916年）载于
《数学进展年鉴》
。
46
：1296。
英文翻译：
安托奇，S.（2003年）。《附录A：弗兰克对施瓦西“质点”论文的评述》载于《大卫·希尔伯特与施瓦西解的起源》。
《气象与地球物理流体动力学》
。不来梅：威尔弗里德·施罗德，科学版。
arXiv:physics/0310104
德罗斯特，J.（1917年）。
《爱因斯坦引力理论中单个中心的场及其粒子在该场中的运动》
。
《荷兰皇家科学院科学会报，A系列》
。
19
（I）：197–215。（1916年5月27日由H.A.洛伦兹教授在荷兰皇家科学院会议上通报）。
重印（2002年）于
《广义相对论与引力》
。
34
（9）：1545–1563。doi:10.1023/A:102074732。
外尔，H.（1917年）。
《关于引力理论》
。
《物理学年鉴》
。
54
（18）：117–145。doi:10.1002/andp.19173591804。
英文翻译：
纽盖鲍尔，G.；佩特罗夫，D.（2012年3月）。《关于引力理论》。
《广义相对论与引力》
。
44
（3）：779–810。doi:10.1007/s10714-011-1310-7。
希尔伯特，D.（1916年12月23日）。
《物理学基础（第二通信）》
。
《哥廷根科学学会通讯》（数学-物理）
。53–76。
英文翻译：
伦，J.（2007年）。《物理学基础（第二通信）》。
《广义相对论的起源》第4卷：经典物理学黄昏中的引力：数学的承诺
。斯普林格。1017–1038。
• 进一步阅读：
阿布拉姆斯，L.S.（1979年11月）。《质点的替代时空》。
《物理评论D》
。
20
（10）：2474–2479。doi:10.1103/PhysRevD.20.2474。
- 更正：
阿布拉姆斯，L.S.（1980年4月）。《更正：质点的替代时空》。
《物理评论D》
。
21
（8）：2438。doi:10.1103/PhysRevD.21.2438。
arXiv:gr-qc/0201044
阿布拉姆斯，L.S.（2001年）。《黑洞：希尔伯特错误的遗产》。
《加拿大物理杂志》67
（9）：919–926。doi:10.1139/p89-158。
arXiv:gr-qc/0102055
安托奇，S.；利布舍，D.-E.（2001年）。《重新审视施瓦西的原始解》。
《天文通报》
。
322
（2）：137–142。
arXiv:gr-qc/0102084
安托奇，S.（2003年）。《大卫·希尔伯特与施瓦西解的起源》。
《气象与地球物理流体动力学》
。不来梅：威尔弗里德·施罗德，科学版。
arXiv:physics/0310104
佩蒂特，J.-P.；达戈斯蒂尼，G.（2015年3月21日）。
《通过自然质量反转过程消除施瓦西解的中心奇点》
。
《现代物理快报A》
。
30
（9）：1550051。doi:10.1142/S0217732315500510。
佩蒂特，J.-P.（2017年）。
原始英文版
法文原文
第三届卡尔·施瓦西会议报告
德国法兰克福FIA S研究所
2017年7月24日至28日
2017年8月2日
我刚从在德国法兰克福举行的第三届卡尔·施瓦西引力物理与规范/引力对应会议归来，该会议由享有盛誉的FIA S（法兰克福高等研究院）主办。
我对海报内容犹豫不决，最终决定展示我关于两个耦合场方程的系统，这是“雅努斯宇宙学模型”的核心。
一篇与会议主题——“黑洞物理学”——关联不强的文字。这本是我打算稍后探讨的话题，但2015年发表于
《现代物理快报A》
的一篇论文：
佩蒂特，J.-P.；达戈斯蒂尼，G.（2015年3月21日）。
《通过自然质量反转过程消除施瓦西解的中心奇点》
。
《现代物理快报A》
。
30
（9）：1550051。doi:10.1142/S0217732315500510。
是迄今为止我已通过同行评审发表的最接近该主题的成果。由于我的海报旁有一块黑板，我迅速写下这篇论文的主要内容：
这引起了极大关注。与会者纷纷拍照，人群聚集。一位六十岁左右的资深研究员立即对“施瓦西1916年发现的度规解中所有奇异特性”能通过一个简单的变量替换被消除表示怀疑。由于他没有佩戴徽章，与其他参会者不同，我推断他应是主办本次会议的
法兰克福高等研究院
的成员。以下是这一变量替换：
终于有批评了！为了更清晰地说明，我迅速在一张纸上写下计算的所有细节，并交给了我的专家。他接过纸张，走开几步，坐在椅子上，埋头研究这些方程长达一刻钟。
所有人都在等待他的裁决。他最终点头表示认可，将论文还给了我。他脸上写满了困惑。我想他心里一定在想：
“我从未见过这种东西。显然，这位法国人一定在某处犯了错误，而我暂时没发现。我稍后会找到的。”
我试图让他关注这一问题，这关系到对卡尔·施瓦西1916年成果的诠释（会议名为“卡尔·施瓦西会议”！）。我问他是否读过发表于普鲁士科学院院刊的原始论文，该文详细阐述了如今被称为“外部施瓦西解”的内容：
施瓦西，K.（1916年1月13日）。
《论爱因斯坦理论中的质点引力》
。
《普鲁士科学院会议报告》柏林（物理-数学）1916年
。189–196
英文翻译为：
安托奇，S.；洛因杰，A.（1999年5月12日）。《论爱因斯坦理论中质点的引力场》。
arXiv:physics/9905030
[physics.hist-ph]
以及他几周后发表的第二篇论文（在他去世前不到三个月）：“内部施瓦西解”：
施瓦西，K.（1916年2月24日）。
《论爱因斯坦理论中不可压缩流体球体的引力场》
。
《普鲁士科学院会议报告》柏林（物理-数学）1916年
。424–434
英文翻译为：
安托奇，S.（1999年5月12日）。《论爱因斯坦理论中不可压缩流体球体的引力场》。
arXiv:physics/9912033
[physics.hist-ph]
他承认自己从未读过这些论文（！），并补充道：
— 你读德语吗？
— 不读，但我读过英文翻译，尽管这些翻译相对新近（1999年），而原文已有一百年历史。我笔记本电脑里有这些文件。我们是否一起看看？此外，大卫·希尔伯特于1916年12月发表的一篇非常重要的文章也值得关注，该文在他去世后继承了施瓦西的工作。
希尔伯特，D.（1916年12月23日）。
《物理学基础（第二通信）》
。
《哥廷根科学学会通讯》（数学-物理）
。53–76。
英文翻译为：
伦，J.（2007年）。
《物理学基础（第二通信）》
。
《广义相对论的起源》第4卷：经典物理学黄昏中的引力：数学的承诺
。斯普林格。1017–1038。
他回避了这个问题，说他也不知道这篇文章（！）
实际上，我在法兰克福发现的是，
黑洞专家们
根本不知道他们所发展的研究的奠基性文献。在一场面向全体与会者的精彩讲座中，
胡安·马尔达西那
，现代黑洞理论的重要人物，开始说道（如会议手册中所述）：
胡安·马尔达西那
— 施瓦西解困扰了我们一百多年，迫使我们对时空有了更清晰的认识。它加深了我们对爱因斯坦理论的理解。在实验上，它解释了多项天体物理观测现象。其量子特性引发了理论上的悖论，迫使我们更好地理解时空几何与量子力学之间的关系。
具体来说，这有什么意义？
首先，“霍金辐射”的“发现”出现了。实际上，这一切都基于广义相对论与量子力学的结合。我们知道，这种结合从未真正实现（引力拒绝被量子化，这将导致引力子——一种自旋为2的粒子——的描述，但至今仍无踪迹）。
现代理论家们坚信这种幻想
是真实存在的
。正是通过在事件视界附近引入量子现象，霍金“证明”了黑洞可以损失能量并“辐射”。这立即引发了黑洞信息悖论。事实上，在被称为黑洞的物体中，任何结构都被认为会完全被摧毁。一切都会彻底消失。因此黑洞是“信息破坏机器”。马尔达西那随后概述了在“黑洞热力学”方面取得的进展。特别是他指出，“黑洞的熵与它们的表面积成正比”。
简而言之，在过去几十年里，理论家们的注意力都集中在如何解决这一信息悖论上。你们可能听说过“防火墙”之类的东西。在他的最新工作中，马尔达西那引入了一个新的“魔法词汇”：
纠缠
。这一概念源于量子力学和著名的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论（EPR悖论），我在我的视频
JANUS 6（14:04处）
中已作过描述。在这个著名实验中，两个发射的光子是“纠缠”的。简而言之，根据马尔达西那的观点，“纠缠”带来了所有答案。再加上一点弦理论。
这样的演讲正是2017年理论界的巅峰之作。
与会者显然参考了JANUS系列视频（见
完整播放列表
）。得益于朱利安·热弗雷的杰出工作，这些视频已翻译成带字幕的英文，开幕式时已有六部完成（JANUS 14至19）。正是在此时我们意识到，高质量的英文字幕是让非法语观众听到我们声音的
绝对必要条件
。我无法提供糟糕的英文翻译：外国网络用户会立刻跳过。热弗雷已追随我的工作二十年，完全精通莎士比亚的语言，是唯一能够完成这项艰巨工作的人员，每部视频需花费2-3天，包含15,000至20,000个字符，其中包含大量专业术语的翻译，字幕在视觉上的排版与校准需精确到十分之一秒，以及创建指向我已发表论文和科学漫画的卡片。
看到这些视频对非法语使用者的影响，我意识到我应该将整个JANUS系列全部翻译成英文。我们重新协商了价格以扩大翻译范围，但20多部视频的预算仍然很高。
网络用户响应号召，通过
PayPal
进行了捐款。这笔钱使我能够出国参加国际会议（注册费、交通与住宿费用），以及完成这些视频的字幕工作。我要补充的是，我将继续以每月两部的速度制作这些视频（是的，还将有一部关于量子力学的JANUS视频）。在我看来，这是一笔值得的投资，因为网站上的文字往往最终被遗忘，而视频则能无限制地持续传播，是当今最有效的传播工具。
截至2018年春季的预算（字幕+研讨会）：20,000欧元
让真相浮现，是有代价的。
如果网络用户寄来的资金（在此向他们致以衷心感谢！）足以保证我参加接下来的几次研讨会（施瓦西会议，法兰克福；然后是COSMO-17，巴黎），我仍需额外帮助来应对这些字幕成本和后续会议。
这些视频的影响：在施瓦西会议上年轻研究者的反应。其中一位意大利青年最终对我说：
— 我看了你关于雅努斯宇宙学模型的论文
（他具备评估内容的专业能力）
。我正在观察你在这里受到的欢迎程度。你怎么能指望这些人不转过身去无视你？你提出的是要摧毁他们工作的根基！
与这位年轻人建立了联系并保持沟通。他在意大利从事修正牛顿动力学（MOND）研究。这是一颗种子。如果我继续在国际会议上“聊天”，将会有更多年轻一代加入，可能不会是那些已在上述奇幻工作中建立声望的人。
这些年轻人中，有些人最终会说：
“我其实并不完全相信MOND理论，不如我试试看这位法国物理学家的思想能带我到哪里。”
这些联系与交流将因这些年轻研究者在见到我时能观看视频并阅读关于雅努斯模型的论文而得以促进。
在法兰克福，大多数演讲都围绕“黑洞物理学”展开，关于
“如果你能观察到它，你会看到什么……”
再加上“全息宇宙”的新概念（我需要制作一部视频来解释全息图的真实含义）。一位女性解释说：
“我们不应害怕宇宙弦。”
另一位展示了在宇宙膨胀的暴胀阶段如何形成微型黑洞对。再加入与弦理论、膜碰撞相关的故事。我几乎是唯一一个能提出可与观测相比较的工作和成果的人。
若想唤醒宇宙学界，使其做出反应，我必须挑战他们钟爱的孩子——黑洞，这并非我原计划在很久以后才做的事。但法兰克福会议的氛围促使我纠正这一状况，因此我下一部视频的标题将是：
JANUS 21：黑洞，源于对卡尔·施瓦西1916年解的误读
这也将是我将在巴黎举行的COSMO-17国际会议上发表的言论。这不是提出黑洞的替代模型（尚不成熟），而是声明：
— 当前这种被称为“黑洞”的模型是不一致的，因为它与卡尔·施瓦西1916年发现的解不符，我已证明这一点。
德国数学家卡尔·施瓦西
于1916年5月11日在波茨坦去世，年仅43岁
距离他发表方程解仅三个月
该解由施瓦西于1916年发现并发表为：
施瓦西，K.（1916年1月13日）。
《论爱因斯坦理论中的质点引力》
。
《普鲁士科学院会议报告》柏林（物理-数学）1916年
。189–196
英文翻译为：
安托奇，S.；洛因杰，A.（1999年5月12日）。《论爱因斯坦理论中质点的引力场》。
arXiv:physics/9905030
[physics.hist-ph]
在这篇第一篇论文中，施瓦西完美地定义了一个坐标
r
为“极坐标”：
但他引入了一个他称为辅助量
R，正是通过这个量，他在1916年1月表达了他著名的“外部”解：
无需数学专业背景即可看出，由于施瓦西选择的变量
r
（如上所定义）严格为正，中间量
R并非自由变量，而是有一个下限α：
施瓦西于1916年5月11日在波茨坦去世，年仅43岁，距离他首次发表论文仅数月。
在1916年12月于哥廷根科学院的报告中，德国数学家
大卫·希尔伯特，1916年时54岁
认为这种表达解的方法毫无意义，这在本例中将奇点（在
R
= α）移至原点，即
r
= 0。
希尔伯特的报告日期为1916年12月23日（施瓦西于5月去世）：
希尔伯特，D.（1916年12月23日）。
《物理学基础（第二通信）》
。
《哥廷根科学学会通讯》（数学-物理）
。53–76。
英文翻译为：
伦，J.（2007年）。
《物理学基础（第二通信）》
。
《广义相对论的起源》第4卷：经典物理学黄昏中的引力：数学的承诺
。斯普林格。1017–1038。
实际上，希尔伯特早已致力于广义相对论理论，其论文标题为《物理学基础》。人们常认为爱因斯坦是物理学家，而希尔伯特是纯数学家。事实上，希尔伯特并不太喜欢科学的技术方面。有一天，他被要求代替生病的同事数学家费利克斯·克莱因，为工程学生授课。希尔伯特在演讲开始时开玩笑说：
—
人们经常谈论科学家与工程师之间的敌意。我不相信这种说法。事实上我非常确定这是错误的。根本不可能存在这种对立，因为双方彼此毫无关联。
但不仅工程师被批评了。他还有一句著名的话：
— 物理学变得对物理学家来说太难了。
希尔伯特在数学上的贡献实际上极为巨大。但如果你有好奇心查阅这份历史文献，你会发现他试图为高度数学化的物理学（真正的数学物理）奠定基础。与他在工程学院的玩笑相比，希尔伯特似乎改变了想法，也许是受到与爱因斯坦会面的影响，或更广泛地受到当时伟大物理学家交流的影响。当然，当他提出自己的贡献时，他立刻志向远大。这篇论文为“拉格朗日方法”奠定了基础，适用于
整个物理学
，即引力与电磁学。在这篇著作中，希尔伯特明确表示，他的目标是将“当时所有的物理学”整合到这一方法中，后来被称为“统一场论”，爱因斯坦也试图毕生完成但最终失败。该计划失败了，因为两种形式无法仅用四维空间同时包含。正如让-玛丽·苏里奥在1954年《几何与相对论》一书（不幸仅以法文出版，但现在可免费获取）第7章中所解释的，通过增加“卡鲁扎第五维度”，电磁学可以纳入广义相对论。
当希尔伯特于1916年12月23日发表这篇22页的论文时，这绝非在施瓦西论文之后的即兴之作，而是此前于2015年11月提交、后被撤回的大型报告的第二部分，希尔伯特认为其结构尚不充分。因此他逐步增加各种发展内容长达一年，并加入了施瓦西在同期发表的爱因斯坦场方程的非线性解。
无论如何，希尔伯特明确将施瓦西的解视为自己更大工作中的一个微不足道的点。
关键在于以下摘录：
希尔伯特引入了四个坐标
w 1
,
w 2
,
w 3
,
w 4
，立即声明前三个（空间坐标）可以如他所示用
极坐标
表示。考虑到他对质点引力场问题的思考属于“中心对称”（zentrischsymmetrisch），他认为这是理所当然的：
在最后一行，他甚至进一步指出，他的项
G ( r
) 被识别为该“径向距离”的平方。
随后一切随之而来。几代科学家将在数百本书中重复这一方法。顺便说一下，他是如何处理时间变量
l
的：
在希尔伯特的理论中，时间是一个纯虚数！
这是他对相对论的解释。
在他的方程（45）中，他仅展示了“双线性形式”，但在这里我们发现了时空度规符号的历史选择（+ + + –）
这一书写强调了时空的可感知、
真实
部分：
空间
（受三个正号影响）。
而
时间
是
虚数
（因此平方时带有负号）。顺便提一下，单位长度
s
也变为虚数，以及所谓的“固有时”。正常：在希尔伯特的理论中，任何属于时间的东西都必须是
虚数
。
他声称获得了施瓦西的结果（除了符号的反转），因此应写为：
然而，存在一个差异：在施瓦西的解中，这并非用字母
r
表示，而是用字母
R：
两者含义不同。但希尔伯特并未过多关注这一细节，因为在他看来（当时也确实如此）在天文学中，
r
总是远大于α（后来被称为“施瓦西半径”）。
为了凸显它们的根本差异，让我们以施瓦西本人可能的方式解释这一解，如果他多活几年的话。我们得到：
但他没有这样做，因为非显式形式对他来说已足够。请记住，施瓦西在论文中的目标是解释水星近日点的进动，找到爱因斯坦之前线性化的结果，用他场方程的非线性解来实现。
该度规对任何
r
0 的值都是正则的。
当
r
= 0 时，前两项的系数也变为零。我将稍后解释这一点的含义。
然而，希尔伯特仅对此工作加了一个简短注释（因为他知道施瓦西已去世，一个简单的、带有怜悯意味的脚注似乎有些吝啬）：
翻译：
— 我认为将 r = α 的位置变换到原点，正如施瓦西所做的那样，并不推荐；而且施瓦西的变换并非实现此目标的最简单方法。
对希尔伯特而言，坐标
r
= α 是一个“真正的奇点”。然而后来证明，它是一个“坐标奇点”，可通过变量替换消除。
众所周知，这类度规解可以用任何坐标系表示。这是爱因斯坦场方程解的基本性质。选择何种系统是物理学家的选择。这涉及为这些坐标赋予物理意义。但理论结果必须与观测相对照，即计算粒子沿测地线的轨迹，这些轨迹在由这种“质点”产生的引力场中运行。当时的人们正是这样做的。
经典上，变量
R被等同于极坐标，从而可以被消除。研究表明，这些测地线轨迹位于平面内。因此解可以表示为函数：
然后将所得曲线与观测数据进行比较，我们得出结论：
– 这些轨迹是“准圆锥形”的，焦点位于
R
= 0。
– 在通常的行星天文学条件下，椭圆轨迹非常接近椭圆，微小差异即所谓的“近日点进动”。
当
R
≪ α 时，量
r
和
R几乎完全相同。施瓦西在其论文中已指出（在英文翻译版本中更易读）：
除了符号选择不同外，我们可以说施瓦西或希尔伯特的解（以及爱因斯坦提出的线性化解）是相似的：它们在行星天文学方面得出几乎相同的结果。因此，无论是选择希尔伯特的径向变量
r
还是施瓦西的变量
R，理论结果都与“现实”一致。
太阳半径为70万公里。施瓦西计算出其长度α（即后来被称为“施瓦西半径”的量）为3公里，位于恒星内部极深处。将此球体视为点是仅四百万分之一的近似。
还值得一提的是——但我会在下一视频中详细说明——施瓦西不仅提供了“外部”解，还在一个月后发表的第二篇论文中构建了“内部”解（描述恒定密度球体内的几何结构）：
施瓦西，K.（1916年2月24日）。
《论爱因斯坦理论中不可压缩流体球体的引力场》
。
《普鲁士科学院会议报告》柏林（物理-数学）1916年
。424–434
英文翻译为：
安托奇，S.（1999年5月12日）。《论爱因斯坦理论中不可压缩流体球体的引力场》。
arXiv:physics/9912033
[physics.hist-ph]
如今，只有在中子星等物体中才会出现一个问题，即“距离变量”与施瓦西半径相比不再可忽略。但此时，应选择希尔伯特的变量还是施瓦西的变量？
理论家们随后提出赋予这一外部解以物理性质，并称其描述了一种他们称为“黑洞”的物体。几何上，必须回答：
– 根据施瓦西的表示，当
r = 0 时发生了什么
– 根据希尔伯特的表示，当
R< α（黑洞的“内部”）时发生了什么
我强调第二个问题在施瓦西的表示中并不存在：你无需思考质量点“越过”α后会发生什么，因为这样的“内部”……根本不存在。
另一方面，在希尔伯特的表示中，如果这个“内部”真的存在，那就非常奇怪：度规的符号被改变，这使得我们的现代理论家说：“在内部，
r
变成时间，
t
变成半径”。
在这一同行评审论文中：
佩蒂特，J.-P.；达戈斯蒂尼，G.（2015年3月21日）。
《通过自然质量反转过程消除施瓦西解的中心奇点》
。
《现代物理快报A》
。
30
（9）：1550051。doi:10.1142/S0217732315500510。
我提出了一种新的坐标选择，源自施瓦西解，通过以下变量替换：
这导致度规解以如下形式呈现：
它在任何变量值下都是正则的，唯一的例外是原点处第一项为零。相关的几何解释认为，该度规描述了两个具有PT对称性的闵可夫斯基时空之间的通道，连接通过一个周长为2πα的喉部球面完成。沿此球面，行列式为零，反映了穿越该表面时空间和时间箭头的双重反转。
使用施瓦西以坐标（
t
,
r
,
θ
,
φ
）表达的场方程解，我们最初可能会错误地认为喉部球面被压缩成一个点，类似于圆锥的顶点：点
r
= 0。但这赋予了这一量“维度”值，而它不过是一个“空间标记”。在微分几何中，空间标记只是一个允许定位某些点的数字。唯一真正有意义的距离，即具有实际意义的长度，是用度规计算出的长度。这些长度用字母
s
表示，无论选择何种坐标系都保持不变（当你考虑两个由不同坐标系描述的相同路径时）。
解的球对称性使得我们可以固定四个坐标中的三个（
t
,
r
,
φ
），并根据
θ
坐标进行2π的旋转。希尔伯特表示中的喉部球面对应于
R
= α。如果
t
= 常数，
φ
= 常数，并按
θ
进行此旋转，结果为2πα，即喉部球面上大圆的周长。
让我们在我的表示中重复这一操作（
t
,
r
,
θ
,
φ
）喉部球面对应于
ρ
= 0。沿
θ
坐标转动后，得到的值为 2πα。
更令人惊讶的是，当采用施瓦西的表示方法，即喉部球面对应于
r
= 0 时，我们同样得到了这个长度 2πα！这非常令人困扰，因为“绕着
r
= 0 这个点转一圈”竟然得到了一个非零长度！这是因为
r
……根本不是一个点！这是微分几何以及用度规表示物体时一个令人困惑的特性。
这个思想实验应当让你明白，不能再将
r
视为一种“有量纲”的长度。正是由于人们习惯性地把
r
想象成“径向距离”，才导致了这种混淆。
事实上，甚至“维度”这个词本身就会引起误解。与其说“我们将用一组维度来定位这个几何物体中的点”，不如说：
— 我们将使用空间标记来定位这个几何物体中的点：
( x 0
,
x 1
,
x 2
,
x 3 )
但就连字母
x
也可能产生误导。为了彻底消除“r 是从中心点向下延伸的某个变量径向距离”这种错误观念，空间标记应使用中性的希腊字母，例如 β 或 ζ：
(ζ
0
, ζ
1
, ζ
2
, ζ
3 )
让我们回到度规这一普遍概念。在数学和几何学中，度规到底是什么？
地球并非平面，而是一个球体。这对制图师来说是个问题。如果我们观察地球仪上的大陆，一切都没问题。但如何将一个弯曲的世界映射到平的纸张、平面载体上呢？该如何操作？人们建立了多张地图，并将其汇集为一个“地图集”。相邻的地图可以通过调整其经线与纬线之间的对应关系相互衔接。
更一般地，这种技术可以用来映射任何曲面。例如一辆汽车的车身。这个地图集中的每一个平面元素都对应着一种局部度规描述。数学家和几何学家已将这一概念推广，考虑由非欧几里得元素构成的地图集。想象一个纸张不存在的世界，人们使用干树叶作为载体，这些叶子呈球面的一部分，可以堆叠起来，形成一个奇特的弯曲地图集。任何事物都可以这样逐步映射（包括一张平面图！）。
这种技术并不对所映射对象的拓扑结构施加任何限制。
选择用“极坐标”来描述施瓦西度规所描述的物体，实际上隐含地假设了其拓扑结构。
在下文中，核心思想是：度规解本身就包含了其自身的拓扑结构，我们无法随意选择。因此，我们完全摒弃传统的地图集方法，不再将物体视为由一组地图构成，而是仅通过其度规来描述，该度规以一组“合适”的坐标表示，即与度规解所隐含的拓扑结构相一致。贯穿始终的原则是：
– 单位长度
s
必须在所有地方都是实数。
– 以及其推论：度规的符号（signature）保持不变。
基于上述评论和建议，我们便可以质疑那个被多重病理困扰的经典黑洞模型。这难道不是希尔伯特对这一几何结构解读方式的后果吗？抱着一个被称为“黑洞内部”的幻象，通过“克鲁斯卡尔解析延拓”进入其中，而马尔达西纳在一次讲座中却说：“它允许我们将解扩展到整个时空。” 事实上，黑洞研究者们对所研究对象的拓扑结构怀有先入为主的观念。这是如何发生的？
从拓扑学角度看，让我们考虑一个二维曲面。画一条闭合曲线，然后尝试将这条曲线的周长减小到零。有两种可能：
– 要么这个周长可以被减小到零。
– 要么会达到一个最小极限。
这可以通过下图说明：
如果这个曲面上的二维居民向我们提问：
— 圆的中心是什么？
我们只能回答：他的问题毫无意义，因为这些圆根本没有中心。
当我们切换到三维世界时，这种“可缩性”表现为将一个球体通过减小其表面积至零来进行变形的可能性：
如果这一操作能够成功完成，那么这个球体就具有“内部”和“中心”。
但三维空间并不一定是可缩的。如果不可缩，那么在某些区域（例如具有二维球面拓扑的表面），通过同心邻近球面（即像剥洋葱一样）对空间进行分层时，会达到一个最小表面积。然后，如果我们继续分层，表面积将再次增大，因为刚刚穿越的最小面积实际上是一个“喉部球面”。
在三维空间中无法再画出这样的图像，但参照前面的二维图示，我们可以看到右侧的最小值是一个喉部圆（红色）。这一切都可以推广到三维超曲面，以及任意维度的超曲面。
马尔达西纳赞扬约瑟夫·克鲁斯卡尔“使我们能够将解扩展到整个时空”，但他并未意识到（如同他之前成千上万的人一样），他无意识地对所讨论的四维超曲面——即“时空”的拓扑结构做出了假设。然而，这种尝试最终导致了度规符号的改变，同时单位长度也变成了纯虚数。这仅仅表达了形式体系给出的“答案”：
— 小心！你已经不在该超曲面上了！
事实上，他想探索的是一个根本不存在的时空区域，就像一位几何学家试图通过解析延拓来研究环面切平面在轴线附近的性质……如同《爱丽丝梦游仙境》中某个疯狂机械师，试图在车轮轴线附近给轮胎内胎贴上一块补丁……
如果我的理解正确，那么几十年来耗费了如此多的纸张、墨水和脑力（包括量子脑力），只为描述一个根本不存在的物体，以及其所蕴含的一切——比如“中心奇点”的性质！人们不禁要问：为何这一切在整整一个世纪里似乎完全未被察觉？希望科学史学家能为我们提供答案。也许可以这样说：希尔伯特用他那“虚时间”的幻想，传达了一种类空度规（– + + +）的概念，这意味着或许此后再没有人关心单位长度的平方符号发生了改变。但说这仅仅是一个“约定”是错误的。
然而，施瓦西（以及爱因斯坦）选择的是类时度规（+ – – –），这一点从施瓦西的论文中可以清楚看出：
相反，通过固定角度项的符号，希尔伯特隐含地将度规符号锁定为（– + + +）：
希望深入探讨这些问题的物理学家、学生和工程师可下载本文所引用各文章的英文译本，包括最初于一千年前用德文发表的历史论文。这些文献可能从未被我们现代的“黑洞专家”读过，他们似乎已与现实脱节，构建了一种脱离观测的天体物理学，其根源是缺乏严谨性的数学。
• 历史文献：
施瓦西，K.（1916年1月13日）。“根据爱因斯坦理论的质点引力场”。
《普鲁士科学院会议报告》柏林（物理-数学）1916年，189–196页。
英文翻译为：
Antoci, S.; Loinger, A.（1999年5月12日）。“根据爱因斯坦理论的质点引力场”。
arXiv:physics/9905030。
施瓦西，K.（1916年2月24日）。“根据爱因斯坦理论的不可压缩流体球体的引力场”。
《普鲁士科学院会议报告》柏林（物理-数学）1916年，424–434页。
英文翻译为：
Antoci, S.（1999年5月12日）。“根据爱因斯坦理论的不可压缩流体球体的引力场”。
arXiv:physics/9912033。
弗兰克，Ph.（1916年），《数学进展年鉴》46卷，1296页。
英文翻译为：
Antoci, S.（2003年）。“附录A：弗兰克对施瓦西‘质点’论文的评论”，载于《大卫·希尔伯特与施瓦西解的起源》。
《气象与地球物理流体动力学》。不来梅：Wilfried Schröder，科学版。
arXiv:physics/0310104。
德罗斯特，J.（1917年）。“爱因斯坦引力理论中单中心场及其粒子运动”。
《荷兰皇家科学院科学会报，A系列》19卷（1）：197–215页。（1916年5月27日由H.A.洛伦兹教授在KNAW会议上通报）。
2002年重印于《广义相对论与引力》34卷（9）：1545–1563页。doi:10.1023/A:102074732。
外尔，H.（1917年）。“关于引力理论”。
《物理学年鉴》54卷（18）：117–145页。doi:10.1002/andp.19173591804。
英文翻译为：
Neugebauer, G.; Petroff, D.（2012年3月）。“引力理论”。
《广义相对论与引力》44卷（3）：779–810页。doi:10.1007/s10714-011-1310-7。
希尔伯特，D.（1916年12月23日）。“物理学基础（第二通信）”。
《哥廷根科学学会通讯》（数学-物理）：53–76页。
英文翻译为：
Renn, J.（2007年）。“物理学基础（第二通信）”。
《广义相对论的起源》第4卷：经典物理学黄昏中的引力——数学的承诺。施普林格，1017–1038页。
• 进一步阅读：
Abrams, L. S.（1979年11月）。“点质量的另一种时空结构”。
《物理评论D》20卷（10）：2474–2479页。doi:10.1103/PhysRevD.20.2474。
- 修正：
Abrams, L. S.（1980年4月）。“点质量的另一种时空结构：勘误”。
《物理评论D》21卷（8）：2438页。doi:10.1103/PhysRevD.21.2438。
arXiv:gr-qc/0201044。
Abrams, L. S.（2001年）。“黑洞：希尔伯特错误的遗产”。
《加拿大物理学杂志》67卷（9）：919–926页。doi:10.1139/p89-158。
arXiv:gr-qc/0102055。
Antoci, S.; Liebscher, D.-E.（2001年）。“重新审视施瓦西的原始解”。
《天文通报》322卷（2）：137–142页。
arXiv:gr-qc/0102084。
Antoci, S.（2003年）。“大卫·希尔伯特与施瓦西解的起源”。
《气象与地球物理流体动力学》。不来梅：Wilfried Schröder，科学版。
arXiv:physics/0310104。
Petit, J.-P.; d'Agostini, G.（2015年3月21日）。“通过自然质量反转过程消除施瓦西解的中心奇点”。
《现代物理快报A》30卷（9）：1550051页。doi:10.1142/S0217732315500510。
Petit, J.-P.（2017年）。“雅努斯宇宙学模型”（YouTube播放列表，配有英文字幕）。
另见此PDF文件，列出视频内容。
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