我们在这里“清理”了这个图形，使其更易读。表面是一个二维物体，这里“沉浸”在一个三维欧几里得空间R³中。我们可以“从上方”看到它。事实上，这个表面可以“以等距方式”沉浸到R³空间中。换句话说，如果我们贴上一条胶带，它会实际地沿着连接表面上两点A和B的测地线贴上。沿着测地线弧测量的长度也是正确的。它等距，词源上是“同样长度”。下面有一个二维表示，它不是等距的……弧A'B'的长度不等于弧AB的长度。请用一张纸、一支铅笔和一把剪刀来制作以下物体：
这个图不是等距的。首先，所显示的曲线并不是平面的测地线。其次，弧AB的宽度并不是“真实长度”，即在“真实表面”上可以测量的长度，而该表面“没有洞”。这张有洞的纸只是有用的表示，仅此而已。同样地，画在纸张一侧然后另一侧的技巧，整个曲线只在透明状态下出现。
在下图中，我们展示了表面的测地线，这些测地线是通过计算机计算得出的（这在文章中有所描述）。
曲线的虚线对应于“另一侧”的分支（就像我们从上方看表面一样）。
现在有一个问题：我们能否构建这些测地线的平面等距表示？答案是肯定的。我们已经看到，我们可以将变量r变为变量r。因此，测地线可以表示在“极坐标”平面（r，j）中。测地线（这里是一条非径向测地线）则如下所示：
这是一个等距表示。三个点A、B和C属于表面，位于同一条测地线上。A'、B'和C'是该表示[ r，j ]中的对应点。点A和B位于同一半球，连接它们的测地线弧不会穿过喉部圆。在该平面中，沿着测地线图像（显然不是该平面的测地线）测量的弧A'B'长度等于在表面上测量的弧AB长度。
弧BC穿过喉部球。同样如此。
但这种等距性并不适用于表面的所有测地线。存在一种独特的测地线：喉部圆，这里被简化为一个点。这是唯一一个自我封闭的表面。
测地线是我们理解表面或更一般地理解非平面、非欧几里得空间的唯一手段。它们是很有用的标记（即使我们在二维和三维表示系统（透视）中有着扭曲的视角）。我们知道这些测地线存在，它们是内在的。例如，球体的测地线是大圆。在时空的情况下，它们充满了无数的时空测地线。测地线是内在存在的，为了理解它们（词源上：抓住、怀抱），我们试图像盲人一样“感受”它们。然而，时空坐标线没有内在的现实性，也不构成球体的一部分。它们并不是“内在提供的”。施瓦茨希尔德几何是爱因斯坦场方程的一个四维超曲面。理论家们在上面贴上了整组曲线，“t常数”，“r常数”等。
永远不要忘记这些行为完全是任意的，尽管即使是理论宇宙学专家也常常会忘记这一点，有时需要几何数学家提醒他们。因此，改变时空坐标是完全合法的。
此时，你可能会说：那么，是什么告诉我们一个坐标选择比另一个更好呢？什么是合理的或不合理的？这是一个品味问题。选择时空坐标意味着给一个数学对象施加一个物理视角。在地球的情况下，我们给它赋予了极点，当它旋转时。北极只是地球表面的法线指向北极星，一颗固定在天空中的恒星。
在等距和非等距方面，制图说明了在平面上表示球体的困难。墨卡托投影（将地球球体投影到与赤道相切的圆柱体上）对生活在赤道附近的人来说非常方便。然而，住在极点的人会遇到一个令人不快的意外：他的点域会变成一条直线……
有数百种方法将球体投影到平面上。想象一下：
想象我们用这个模型制作地图并出售。在极点附近的人会非常成功：这些投影在这些地区几乎是等距的。对于了解这些区域的距离很有用。如果地球在极点上可居住，而在其他地方相对不适宜居住，地图很可能就是这样的。然而我们会发现，平面上投影的边界圆不再对应赤道，而是对应一个纬度（这里在北半球）。在该区域附近，地图会远离等距。此外，在这张奇怪的地图上，一部分陆地应该用一条实线表示，另一部分用虚线表示，因为它位于那个纬度之外，物体奇怪地“折叠回自身”。也许我们可以提供一张纸盘的地图，其余的陆地出现在纸张的另一侧。
现在尝试“在三维中想象这一切”。我们通过两个单独的图画展示了Lanturlu将他的左臂伸入喉部球体，这可能让人误以为第二个三维空间“在别处”。为了正确，这两个透视图应该叠加，伸出（右）的手应该用虚线表示。
我尝试过，虽然并不容易。我可以使用两种不同的颜色，红色用于我们非单连通三维空间的第一侧，绿色用于另一侧。一个红色的Lanturlu会看到他伸入球体的左手变成绿色的右手。
显然，“喉部球体”内部什么也没有。内部的外观、体积内容只是由于我们选择的这个三维表示空间。就像在纸张上打的洞中也没有纸张一样。这只是与选择这个平面表示空间有关的意外。如果有人坚持使用平面表示而不移除纸张上切下的圆盘，并不断问“里面有什么”，那么他将完全“超出范围”（或者更准确地说……在里面）。这个范围并不存在。
回到三维。当Lanturlu将他的手臂伸入喉部球体时，它也没有内部。内部的外观只是由于我们选择的表示空间。我们可以认为Lanturlu和他的手是从一张三维纸张上画出的，我们从中移除了……一个球体（纸张圆盘的三维等价物）。数学上，一个圆盘是一个“b²球”，一个“球体体积”是一个“b³球”。我们所说的“球”是指一个可收缩的单元（参见“CD-Lanturlu”上的“拓扑学”），也就是说，一个可以通过自身收缩到一个点的物体。二维和三维的例子旨在说明文章的作战计划：施瓦茨希尔德球体既没有“内部”，也没有“中心”。当我们穿过它（超环面通道）时，我们会发现自己在“时空的另一边”。
这种对“施瓦茨希尔德几何”的新解释有什么依据？
答案是：消除奇点。克鲁斯卡尔通过他的“解析延拓”尽其所能地进入这个“该死的球体”。他只成功地将奇点（最初由施瓦茨希尔德球体承担的角色）封在一个位于“该物体中心”的点上。人们满足于这个魔术。然而我们认为没有奇点更好。
当从错误的方向观察自然时，自然会抗议，产生奇点。这就是我们看到的方式。这是对“真实”事物的先入之见。我们认为这些奇点在自然界中并不存在。我们也认为无限并不存在。但正如吉卜林所说，那是另一回事。去年我与苏里奥就这个问题进行了激烈的讨论。
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什么证明了无限存在？
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但没有无限就没有数学！
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你有没有遇到过无限？你有没有看到它，把它拿在手里？
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这是一种……便利。
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我们通过假设可以无限地给一个数加1来生成无限大的数。我们使用序列无限来生成数字无限。它咬了自己的尾巴，你的方法。
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好吧，我们说这是一种便利。人类历史上发明了两件重要的东西：无限和厕所……
我也并不相信无限小在物理上或数学上存在。但那将是其他文章的主题。暂时放下这些问题。这只是个简单的插叙。
在网站](/fr/article/f300-f301html))。
正如阿基米德所说，我相信在科学圣殿的入口处，“没有几何学知识的人不得进入”。这些张量和其他东西，是米迪喜欢的领域，它们和英式甜点一样难以消化。
因此，通过这次讨论，我们可以看到我们对这些现象的物理理解来自于我们决定如何表示它们的方式。通过改变空间坐标，我们改变了“局部拓扑”，根据苏里奥的说法，这是一个需要数学澄清的术语。实际上，这个词是一个温和的委婉说法：当我说出这个词时，他开始激动起来，我和他的猫皮乌姆花了很大的力气才让他平静下来。苏里奥是数学界的图恩索尔教授。他是高数学愤怒的自愿实践者。然而，这种愤怒不应与普通的愤怒混淆。相反，我在这里扮演的是莫里哀在《莫里哀先生》中的角色。物理学家经常在不知道的情况下使用数学（实际上，反过来也是一样）。
暂且接受“未指定”词语的使用，一切似乎都像是我们只考虑了施瓦茨希尔德几何的“局部拓扑”是“超球形的”（即施瓦茨希尔德球体“包含”一个“b³球”）。我们将其变为“超环面”。这就是我提出“超环面几何”的原因。
我们之前提到过空间的反转。它是通过群组进行协商的。我们能否以其他方式理解它？我们看到Lanturlu将他的左手伸入喉部球体，然后看到右手出来。实际上，他手上的每个原子都沿着“径向”测地线移动，垂直于表面。
顺便提一下，这个表示系统并不是等距的。就像有洞的纸一样。如果我们测量一个属于Lanturlu手上的测试原子（在英文版中是阿奇博尔德·希金）在两个半空间中移动的距离，它不会与用一根绳子测量的真实距离相符。
回到之前展示的图。
在这里，我们展示了穿过喉部圆的测地线弧AB及其在下方平面表示空间中的图像。表示的非等距特性变得更加明显。弧AB和A'B'的长度非常不同。
显然，很难想象我们能将一根绳子穿过超环面通道的喉部球体。如果我们拉紧绳子，就会得到一条测地线（最短路径）。毕竟，如果我们测量绳子在三维表示空间（Lanturlu将手臂伸入）中的长度，并决定测量绳子在该空间中的长度，我们会发现A'B'更短。在三维超曲面中测量的真实长度会更长，如二维图所示。因此，带有Lanturlu的三维表示是非等距的，就像上面的平面表示一样。
借助一些图画，这些来自群论的微妙概念变得不那么晦涩，只要“在空间中看到”。这就是我想教你们如何做到的，在弯曲的三维空间中“看到”。
回到手性问题，即当物体穿过二维或三维的喉部结构时的反转。想象二维的径向测地线。这个词已经变得不正确，因为原则上半径是一条从点出发的直线。实际上，它是一条j常数的测地线。参见之前显示的方位角坐标图。然而，为了简洁，我们继续使用带引号的“径向”一词。请注意，“径向”一词本身就是表示空间选择的结果。想象一个字母R（它不等同于它的镜像，即它的手性图像）像一个固定不良的转移一样沿着我们的环面通道滑动，每个点都沿着测地线移动。字母R会出现在“另一边”。观察在表示空间中的平面投影操作结果很有趣。
我们展示了一种带有两条测地线边缘的带子。我们注意到什么？在表示空间中，字母R被反转为俄语的“ia”，即倒置的R，手性。我们开始理解为什么Lanturlu的手在进入三维表示空间时似乎被反转，它变得手性。