我们在这里把这个图形“清理”了一下，让它稍微更易读一些。一个曲面是一个二维对象，在这里被“投入”到一个原本是欧几里得的、位于 R3 中的三维空间里。我们可以从上方“看到”它。碰巧的是，这个曲面可以“以等距的方式”嵌入空间 R3 中。也就是说，如果我们在它上面贴上一些胶带，这实际上会沿着连接曲面上两点 A 和 B 的一条测地线自行贴合。沿测地弧测得的长度也是正确的。它是等距的，从词源上说就是“相同的长度”。下面有一个二维表示，它不是等距的……弧 A'B' 的长度不等于弧 AB 的长度。借助一张纸、一支铅笔和一把剪刀构造以下物体：
这个图不是等距的。首先，所示的曲线不是平面的测地线。其次，弧 AB 的宽度不是可以在“真实曲面”上测得的“真实长度”，而那个“真实曲面”“没有洞”。带洞的纸张只是一个有用的表示，仅此而已。在一面纸上画、再在另一面纸上画，整个曲线只以透明方式显现出来的技巧也是如此。
在下图中，我们展示了该曲面的测地线，由计算机计算得出（这在文章中有所体现）。
曲线的虚线部分对应于“另一侧”的分支（就好像我们从上方看这个曲面一样）。
现在有一个问题：我们能构造这些测地线的一个平坦且等距的表示吗？答案是肯定的。我们已经看到，我们可以把变量 r 变成变量 r。因此，这些测地线可以在一个“极坐标”（r，j）平面中表示出来。这些测地线（这里是一条非径向测地线）看起来如下：
这是一个等距表示。也就是说，A、B、C 三个点属于该曲面，且位于同一条测地线上。A'、B'、C' 是在这个表示 [r，j] 中的对应点。点 A 和 B 位于同一半层上，连接它们的测地弧不穿过峡谷圆。在这个平面中，沿测地线的像（它显然不是这个平面的测地线）测量时，弧 A'B' 的长度等于在曲面中测得的弧 AB 的长度。
弧 BC 穿过峡谷球面。同样如此。
但这种等距性并不适用于该曲面的所有测地线。存在一条，独一无二：峡谷圆，在这里被缩减为一个点。它是唯一一个自身闭合的曲面。
测地线是我们理解一个曲面，或者更一般地说，理解一个非平面的、非欧几里得空间所必须依靠的唯一东西。它们是有用的标记（即使我们在二维和三维表示系统（透视）中看到的是扭曲的视图）。我们知道这些测地线存在，它们是内蕴的。例如，球面的测地线是大圆。在时空的情形中，它们充满了无限多的时空测地线。测地线内蕴地存在，而为了理解它们（从词源上说：握住、抱在怀里），我们试着像盲人一样去“感觉”它们。然而，空间和时间坐标线没有内蕴实在性，两条子午线和平行线集合也不是球面的组成部分。它们不是“随附其中”的。施瓦西几何是爱因斯坦场方程的一个解，是一个四维超曲面。理论家们在其上贴满了整族曲线，“常数 t”“常数 r”等等。
永远不要忘记，这些做法完全是任意的，尽管就连理论宇宙学的专家们也常常看不到这一点，并且不时地被几何数学家叫回正轨。因此，改变时空坐标是完全合法的。
说到这里，你会说：那么是什么告诉我们一种坐标选择比另一种更好？什么是合理的，什么是不合理的？这是品味问题。选择时空坐标意味着把一个物理视觉加到一个数学对象上。就地球而言，我们在地球旋转时给了它极点。北极点不过是“地球”曲面的法线中指向北极星的那一条，而北极星是天空中一颗固定不动的星。
在等距与非等距的问题上，地图绘制说明了试图把球面表示在平面上的困难。墨卡托投影（把地球球面投影到与赤道相切的圆柱面上）对住在赤道附近的人非常友好。然而住在两极之一的人却会遇到一个糟糕的意外：他那 punctual 的区域变成了一条直线……
把球面投影到平面上有数百种方法。让我们想象一下这个：
想象我们根据这个模型制作地图并出售它们。立刻在住在两极的人中大受欢迎：这些投影在这些区域是准等距的。对于了解这些区域中的距离很有用。如果地球在两极可居住而在其他地方相对不宜居住，那么毫无疑问会这样制作地图。然而我们会看到，投影在平面上的边界圆不再对应于赤道，而是对应于一条纬线（这里在北半球）。在这个区域附近，地图将远远偏离等距性。除此之外，在这张奇怪的地图上，一部分陆块应该用正常的实线表示，而另一部分应该用断开的虚线表示，因为它位于那条纬线之外，而物体在那里奇怪地似乎“折回自身”。也许我们可以提供印在纸盘上的地图，其余陆块则出现在纸的另一面。
让我们试着“把这一切想象成三维的”。我们用两幅分开的图展示了兰图鲁把左臂伸进峡谷球面，这可能看起来暗示第二个三维空间在“别处”。为了正确，这两幅透视图应该叠加起来，而伸出的（右）手用虚线表示。
我试着这样做了，尽管并不容易。我本可以用两种不同的颜色，红色表示我们这个非单连通三维空间中第一个三维侧的部分，绿色表示另一侧。一个红色的兰图鲁然后会看到，他伸进球面的红色“左手”出来时变成了一只绿色的“右手”。
显然，在峡谷球面“内部”什么也没有。内部、体积内容的外观，只是由于我们选择了这个三维表示空间。正如在纸上剪出的洞里也没有纸一样。那只是一个与选择这个平面表示空间有关的偶然。如果有人坚持使用一个不挖去纸上所剪圆盘的平面表示，并且反复问“里面有什么”，那他就完全“跑题”了（或者更确切地说……陷进去了）。场并不存在。
让我们回到三维。当兰图鲁把手臂伸进峡谷球面时，它也没有内部。内部的外观只是由于我们选择了表示空间。我们可以认为，兰图鲁和他伸出的手被画在一张具有三个维度的纸上，而我们从中移除了……一个球（纸盘的三维等价物）。在数学上，一个圆盘是一个“b2 球”，而一个“球体体积”是一个“b3 球”。所谓“球”，我们指的是一个可收缩的胞腔（见“CD-Lanturlu”上的《Topologicon》），也就是说一个可以通过自身翻转而相对于一点收缩的物体。二维和三维的例子在那里是为了说明文章的作战计划：施瓦西球没有“内部”，没有“中心”。当我们穿过它（ hypertoric 通道）时，我们发现自己位于“时空的另一侧”。
这种对“施瓦西几何”的新解释的正当性是什么？
答案：消除奇点。克鲁斯卡尔用他的“解析延拓”尽一切可能穿透这个“被炸开的球面”。他只是设法把奇点（最初由施瓦西球面扮演的角色）塞进一个位于“这个对象中心”的点里。人们满足于这个魔术把戏。然而我们认为没有奇点更好。
当我们从错误的一侧看自然时，自然通过分泌奇点来抗议。我们就是这样看事物的。这是对什么是“真实”的先入之见。我们相信这些奇点不存在于自然中。我们也认为无限也不存在。但正如吉卜林所说，那是另一回事。一年前我和苏里奥就这个问题进行过激烈的讨论。
——什么证明无限存在？……
——但是，没有无限就没有数学！……
——你遇到过无限吗？见过它，把它握在手里过？
——那是一种……方便。
——我们通过假定可以无限地给一个数加 1 来生成无限大的数。我们在用一个序列的无限来生成一个数值的无限。它在吃自己的尾巴，你那个东西。
——好吧，我们就说这是一种方便。人在他的历史中发明了两件重要的东西：无限和厕所……
我也不相信无限小在物理上或数学上存在。但那将是其他文章的主题。让我们暂时把这些搁在一边。一个简单的题外话。
顺便看看 P. Midy 和 J.P. Petit 的“尺度不变宇宙学”，International Journal of Modern Physics D，1999 年 6 月，第 271-280 页，我们在那里让“宇宙的初始奇点”消失了。这是对我 88-89 年在 Modern Physics Letters A 上发表的一个想法的更具数学构造性的重新表述（网站上的论文）。
正如阿基米德（我相信）在一座科学圣地的入口处所说：“不懂几何者不得入内”。这些张量之类的东西，一个米迪所钟爱的领域，和英国布丁一样难以下咽。
因此，通过这场讨论我们可以看到，我们对这些现象的物理视觉来自我们决定表示它们的方式。在修改空间坐标时，我们改变了“局部拓扑”，这个术语根据苏里奥的说法需要数学上的澄清。事实上这个说法是一种温和的委婉语：当我说它时，他干脆开始胡言乱语，而我和他的猫皮乌姆费了最大力气才让他平静下来。苏里奥是数学界的图尔内索尔教授。他是一位心甘情愿的高等数学义愤的实践者。然而这种义愤不应与这个词的平凡意义上的愤怒相混淆。更确切地说，在这个领域里扮演莫里哀的“茹尔丹先生”的是我。物理学家常常在不知道的情况下使用数学（事实上反过来也一样）。
在暂时承认使用“未指定”词语的情况下，一切都好像我们只考虑了施瓦西几何的“局部拓扑”是“超球面的”（即施瓦西球“包含”一个“B3 球”）。我们把它变成了“超环面的”。这就是为什么我提出了“超环面几何”这个术语。
我们前面提到了空间的反转。这是与群协商的。我们能以不同方式理解这一点吗？我们看到兰图鲁把左手伸进峡谷球面，却看到一只右手出来。事实上他手上的每个原子都沿着一条垂直于表面的“径向”测地线运动。
别忘了顺便提一下，这个表示系统不是等距的。就像带洞的纸一样。如果我们测量兰图鲁手上（英文版中是阿奇博尔德·希金斯的）一个测试原子在两个半空间中所走过的距离，它不会与用一根绳子测得的真实距离一致。
让我们回到前面展示的图。
这里我们展示了一条穿过峡谷圆的测地弧 AB 及其在下方平面表示空间中的像。表示的非等距特征变得更加明显。弧 AB 和 A'B' 的长度非常不同。
显然，很难想象我们能在一段超环面通道的峡谷球面中穿一根绳子。拉紧绳子我们会得到一条测地线（最短路径线）。毕竟，如果我们测量三维表示空间中绳子的长度（兰图鲁把手臂推进去），并决定在这个空间中测量绳子的长度，我们会发现一个更短的长度 A'B'。在三维超曲面中测得的真实长度会更长，如二维图所示。因此，带兰图鲁的三维表示是非等距的，就像上面的平面表示一样。
借助几幅图，这些从群论发展出来的微妙概念就不那么晦涩了，只要一个人“能看进空间里去”。这就是我试图教你们做的，看进一个三维弯曲空间。
让我们回到对映异构的问题，即物体穿过二维或三维峡谷结构时的反转。让我们想象二维中的径向测地线。这个词已经变得不正确了，因为原则上半径是一条从一点出发的直线。事实上这里涉及的是常数 j 测地线。见前面展示这个方位角的图。不过，为了更简洁，我们将继续在引号中使用“径向”一词。请注意，“径向”一词本身已经是选择表示空间的结果。想象一个字母 R（它与它的镜像、它的对映异构像并不相同）像一张固定得很差的转印贴一样沿着我们的环面通道滑过，它的每个点都沿一条测地线运动。这个字母将发现自己“在另一侧”。看看这个操作在表示空间的平面投影上的结果会很有趣。
我们展示了一种带状物，其边缘由两条测地线构成。我们注意到什么？在表示空间中，字母 R 被反转，变成一个俄语的“ia”，一个反向的 R，对映异构的。我们开始理解为什么兰图鲁的手在“三维表示空间”中出现时似乎是反转的，它变成了对映异构的。
