但有些表面本身是奇异的，它们的奇异性并非源于坐标的选择。例如，锥形奇点。
1917年，施瓦茨希尔德在t、r、θ、φ（时间、径向距离和两个角度，相当于方位角和极角：即“球坐标”）坐标中提出了一种“铸造粗糙”的形式，施瓦茨希尔德球面是奇异的。当“径向坐标”r取某个特定值Rs（本应从“几何中心”测量）时，这个度规会制造出最糟糕的问题。在这个球面上，其中一个项的分母为零。总之，它在这个球面上是奇异的。这是否是内在奇异性，还是由于坐标选择不当造成的伪象？这就是我们提出的问题。
顺便指出，“施瓦茨希尔德几何”是一个四维的超曲面，这使得问题更加复杂。
克鲁斯卡尔关注了这一点。他构造了一种坐标变换，其中还包括在径向轨迹上保持光速恒定。这样，他将奇异性的方面集中在“物体中心”的“中心奇点”。从心理上讲，人们似乎觉得这样更好。解变得“几乎处处规则”，数学家用这个术语表示解是规则的，没有病态，除了一个点。
- 你不会因为一个简单的点而挑剔，和我找茬吧……
不幸的是，克鲁斯卡尔的这种表述有一个严重缺陷：它在无限远处无法还原出狭义相对论的空间。技术上讲，它在无限远处不是洛伦兹的，即“渐近洛伦兹”。
这是物理学中的一个关键问题：奇点是否存在？大自然是否容忍奇点？答案是用信仰来表述的（正如对无限存在或不存在的信仰一样）。
我们尝试消除这种施瓦茨希尔德几何中的所有奇点，并成功了。因此我们的答案是：
- 施瓦茨希尔德解的奇异性只是由于坐标选择不当造成的。
技术上，一切都取决于变量的替换：
r = Rs + Log ch r
这读作“r等于Rs加上r的双曲余弦的对数”。对科学家、专家或普通学生来说，这很简单。对于懂得使用这个公式的人来说，r的值将不能再小于Rs，即使r取所有可能的值，从负无穷到正无穷。
考虑一个由绕直线旋转抛物线得到的表面，如下所示：
这个图来自文章。这个表面是无限的，就像绕z轴旋转的抛物线母线一样。如果你坚持用(r, z, φ)坐标来表示它，当你问“r < Rs时这个表面是什么样”时，就会遇到麻烦。
你将得到一个答案……是虚数，因为此时你“在表面之外”。
在数学中，这个表面被称为“非单连通”，这个术语指的是这样的表面：任何闭合曲线都不能通过在表面上滑动而使其周长减小到零。
这在球面（“单连通”）上是可能的。但在这种表面上，很明显，任何绕着这个“中心凹陷”转一圈的闭合曲线都无法使其周长趋近于零，其极限是“喉部圆周”。同样适用于环面，它也是“非单连通”的。
我们从它的度量出发定义了这样的表面，这很好地说明了这个观点。保留坐标r，这个表面看起来是奇异的。而使用上述变量替换后，它就不再是奇异的。这个坐标r代表什么？它只是沿着如图所示的母线抛物线延伸，其值在喉部圆周上为零。表面的一半对应r为正，另一半对应r为负。在[r, φ]坐标系中，不再有奇点。
我们决定将这种物体称为“环形桥”，这是与环面类比而来的。
但可以很容易地证明，从度量出发，我们可以进入一个三维超曲面，它包含一个“超环形桥”。此时不再是一个喉部圆周，而是一个喉部球面。就像上面的表面中，一个喉部圆周似乎连接了两个二维表面，这个喉部球面则连接了两个三维“半空间”。当你处于其中一个三维半空间中并进入喉部球面时，你会进入另一个三维半空间。
回到上面展示的二维表面。下图显示，当画出“看似同心圆”的圆时，它们的周长会减少，达到最小值，然后再次增加。
在三维中，可以想象一个完全包围喉部球面的球体。然后另一个球体位于这个球体内部（按照某个方向朝向喉部球面，应该说“在它的另一侧”）。可以想象这个球体的表面可能更小。但当到达喉部球面时，面积会达到最小值，然后再次增加……直到无限，当你继续这个过程时。
我们已经构建了这些二维和三维表面的“度量”，它们包含“环形桥”和“超环形桥”，在后一种情况下，我们被其与施瓦茨希尔德度量的相似性所震惊，因此我们进行了这种坐标变换，使它呈现出“非单连通性”，“物体内部”变成了“喉部球面之外”。
这样，所有的奇点都被消除了。
在这一阶段，我们只是将黑洞模型扩展为一个“黑洞-白洞”双体。但，对于这个“外部观察者”来说，穿过这个超环形桥的时间仍然是无限的。我们似乎只是改进了黑洞模型，解释了它最终通向哪里。
我们说过，在几何解中，变量的选择是完全任意的。但空间的规则同样适用于时间。因此，我们寻找了爱丁顿于1924年发明的时间变量变换：
再次提及这一点，是为了科学家或普通学生。
t是旧的“宇宙时间”，是1917年施瓦茨希尔德初始解中的旧“时间变量”。
t'是这个新的“爱丁顿时间”。Rs是“施瓦茨希尔德半径”（应该说是“施瓦茨希尔德周长”除以2π）。
c是光速（这里为常数）。
看起来有些奇怪的是，我们把时间和空间混合在一起，但在这方面，我们有权利这么做。时间坐标或时间标记（time-marker）的选择是完全任意的。我们只需要：
-
度量在无限远处是渐近洛伦兹的，即在无限远处，时空变为闵可夫斯基时空，即狭义相对论的时空。在我们的情况下，这有效（在克鲁斯卡尔那里无效）。
-
这个新时间t'……