这里，我们稍微“去油”了一下图像，使其更易读。一个表面是一个二维物体，这里“沉浸”在一个三维欧几里得空间，即R3中。在上方，我们可以“看到”它。这个表面恰好可以“等距地”嵌入这个R3空间中。也就是说，如果我们在其上贴一条胶带，这条胶带实际上会沿着连接表面A和B两点的测地线存在。此外，沿着这条测地线弧测量的长度也是正确的。这是“等距”的含义，词源上是“相同长度”。在下方是一个二维的表示空间，它给出的表示不是等距的。弧A'B'的长度不等于弧AB的长度。请用一张纸、一支笔和一把剪刀制作以下物体：
这个图并不是“等距”的。首先，所指示的曲线显然不是平面的测地线。其次，弧AB的长度不是“真实长度”，即在“真实表面”上测量的长度，而这个表面“没有洞”。这张带洞的纸只是方便的表示，仅此而已。同样，这种在纸的正面和背面分别绘制的方法，整个曲线只在透明状态下显现。
在下图中，我们用计算机计算并表示了该表面的测地线（见文章）。
曲线中被划线的部分对应于“另一侧”的分支（就像我们从表面的“上方”看去）。
现在，有一个问题：我能否构建一个平面且等距的这些测地线的表示？答案是肯定的。我们已经看到，我们可以将变量r替换为变量r。那么，测地线完全可以被表示在一个“极坐标”平面（r, j）中。这些测地线（这里是一条非径向的测地线）如下所示：
这种表示是等距的。假设有三个点A、B、C位于表面上，位于同一条测地线上。A'、B'和C'是该表示[ r, j ]中的对应点。点A和B位于同一半圆上，连接它们的测地线弧不穿过喉部圆。在该平面上测量这条测地线的图像（显然不是该平面的测地线），弧A'B'的长度等于在表面上测量的弧AB的长度。
弧BC穿过喉部圆。同样的情况也适用于它。
但这种等距性并不适用于表面上的所有测地线。存在一条独一无二的测地线：喉部圆，这里被简化为一个点。这是该表面上唯一一条自身闭合的测地线。
测地线是我们理解一个非平面、非欧几里得表面或更一般地说空间的唯一方式。它们是可靠的参考（尽管我们通过二维或三维的表示系统（透视图）可能会有扭曲的视觉）。我们知道这些测地线“存在”，并且是内在的。例如，球体的测地线是大圆。就时空而言，它们充满了无数的时空测地线。这些测地线是内在存在的，为了“理解”（词源上是“包围、拥抱”），我们像盲人一样试图“触摸”这些测地线。但时间和空间的坐标线没有任何内在现实性，同样，经线和纬线也不属于球体的一部分。它们“并不自带”。施瓦茨希尔德几何是爱因斯坦场方程的一个四维超曲面。理论家们在上面贴上了“t为常数”、“r为常数”等曲线族。
请牢记这些做法完全是任意的。但即使是理论宇宙学家也常常忘记这一点，数学家-几何学家偶尔需要提醒他们。因此，改变空间和时间坐标是完全合理的。
此时，你可能会说：那么，什么能说明某种坐标选择比另一种更好呢？什么是合理的，什么是不合理的？这是一个品味问题。选择空间和时间坐标，就是给一个数学对象加上一种物理视角。在地球的情况下，我们给它加上了两极，因为地球在旋转。北极只是地球表面上一个法线指向北极星的点，而北极星在星空的穹顶中是固定的。
关于等距和非等距，地图学展示了将球体表示在平面上的尝试所带来的问题。墨卡托投影（将地球球体投影到与赤道相切的圆柱体上）对居住在赤道附近的人非常方便。但居住在两极的人会遇到一个意外：他们的区域，原本是一个点，却变成了直线……
有三十六种方式将球体投影到平面上。想象一下这种投影方式：
假设我们按照这种模式制作地图并出售，那么居住在两极的人会立即取得成功：在这些地区，这些投影几乎是等距的。这对于了解这些地区的距离非常方便。如果地球的两极是可居住的，而其他地方相对不适宜居住，地图很可能会以这种方式制作。请注意，此时平面投影的边界圆不再对应赤道，而是对应一个纬度（这里位于北半球）。在该区域附近，地图与等距相差甚远。此外，在这种奇怪的地图上，一部分领土需要用实线表示，另一部分用虚线表示，因为它们位于该纬度线之外，看起来“折叠”了。除非提供的是圆形地图，且地形的另一面显示在纸的背面。
试着“以三维方式思考这一切”。我们表示了Lanturlu将左臂伸入喉部圆，我们分开两个图像，这似乎暗示着第二个三维空间可能“在别处”。更准确地说，应该以透视方式叠加这两个图像，表示右手从“虚线”中浮现出来。
我尝试过这样做，尽管并不容易。也可以使用两种不同的颜色，例如红色表示我们三维非单连通空间的第一个三维面，绿色表示另一个面。一个红色的Lanturlu会看到他放入喉部圆的左红手，以绿色的右“手”形式浮现出来。
可惜Raymond Devos不感兴趣于数学。尽管……
显然，在“喉部圆”内什么也没有。这种内部、体积内容的外观只是由于选择了这个三维表示空间。同样，在纸张的孔洞内部也没有纸张。这只是一个与选择这个二维表示空间相关的巧合。有人如果坚持使用这种平面表示，却不移除纸张上剪下的圆盘，继续……