A：在HTM\PQ4.htm中的演示。现在（这些图示是从文章中提取的），我们尝试在三维表示空间中设计一组四个小球，它们形成一个四面体（一个高度可定向的物体），并沿着“径向测地线”掉入一个球形的喉部（球形）。
它们会“反弹”在该球形喉部上（根据我们所选择的表示空间的图像）。实际上，在三维超曲面上，测地线是连续的。
我记得，当我年轻的时候，常常在楼梯的扶手上看到镀铬的球。如果你居住的地方有这种物体，你可以用你的四只手来尝试，把小钢球扔上去。
反弹之后，这四个小球会形成一个倒置的四面体：
我们放大这个四面体以便更好地观察这种倒置。在初始配置中，它呈现如下：
我们“定向”它的面。例如，我们赋予一个A→D→B的路径方向等，使得将这种“运动”类比为螺旋钻的运动时，螺旋钻的尖端朝向外侧（箭头）。这样，四个面就被定向了。现在，我们将这个四面体与那些“反弹”在球形喉部上的小球形成的四面体进行比较：
面的定向被反转了。如果我的图画得更精确一些，这两个物体就可以放在镜子的两侧，一个是另一个的对映体。
对于施瓦茨希尔德来说，情况也是一样的：物体“从另一边”重新出现，如果我们可以“透过它们看到”，它们会呈现为对映体。但我们无法“透过它们看到”。为了“看到”，光子必须能够沟通这两个“相邻”的空间-时间区域，而这两个区域是P对称的。
顺便提一下，那些“非径向”轨迹又如何呢？测地线的计算显示这些轨迹是平面的，并且“反弹”在施瓦茨希尔德球上。参见下图。
还剩下关于时间变量的问题，前面简要地提到过。正如我之前所说，在变量选择方面，我们都有权利。这种选择完全是任意的，因为物体，即时空超曲面是“坐标不变的”，它独立于我们选择用来标记其上点（即“事件点”）的坐标。这些点是时空物体的四维超曲面中的点。
但是，如果这一切都是如此任意的，那么时间是什么？空间又是什么？
有一个时间是无法触及的，它是超曲面唯一的内在标量：这就是固有时。固有时是这个时空超曲面中的“长度”。我们假设物体只能沿着四维测地线移动。在一条测地线上，我们取一对点（A，B）。这两个事件点之间的距离Ds，除以c（一个常数，即远离球形喉部区域的光速），就是这两个“事件”之间的固有时Dt，无论选择何种时空坐标系统，这个量Dt都是具有内在物理意义的唯一量。
想象一下，你沿着地球表面的一条测地线（大圆）从点A走到点B。如果你说：
- 我从经度jA和纬度qA的点走到经度jB和纬度qB的点。
那么(jB - jA)和(qB - qA)这些量意味着什么？它们将取决于你决定将极点放在哪里，以及你选择的坐标系统。然而，如果你说：
- 我沿着这条测地线走了2347公里。
这个测量值无论选择哪种坐标系统都有意义。
我们已经看到，通过安装坐标，可以显示出一个或多个奇点。一个极点是一个经度j不再定义的地方。我们还看到，通过简单的坐标变换，可以消除一个“不想要的区域”（r < Rs），在那里会找到一个纯虚数的长度Ds。事实上，由于施瓦茨希尔德度规的初始形式导致了一个纯虚数的固有时（即长度），我们曾认为此时我们处于超曲面之外。没有绝对的坐标系统。但我们可以选择一个空间坐标，至少能消除奇点，我们就是这样做的。同样，也没有“绝对的宇宙时间”。在我们与Midy的最新论文中（如上所述），我们证明了“初始奇点”作为“我们宇宙的创生时刻”是由于时间参考变量的特定选择，而另一种选择不仅保留了所有可观测的物理量，包括红移，还消除了这个初始奇点，就像同名的罪过一样。因此，“大爆炸之前是什么？”这个问题就失去了意义。我承认这令人困惑，但这个问题源于时空范式。它等同于问：“黑洞中心有什么？”因此，使用“爱丁顿时间”（变量变换已在上文提到）改变时间坐标是完全合理的，因为这使得这种局部几何结构与闵可夫斯基时空（即相对论意义上的平直、无曲率、空的时空）连接起来。但其核心思想是能够用一个度规描述整个时空。再次强调，这一线索出现在群论中，并涉及施瓦茨希尔德度规的“等距群”的分析。
等距群 包含了所有使度规不变（因此使超曲面不变）的几何变换。球体的等距群是空间中的旋转群加上对称性（相对于通过其中心的平面或轴，或相对于中心点的对称性）。我们称这个群为O3（“三维正交群”的缩写）。见《几何物理B》的引言。它包含了所有这些内容。但如果去掉相对于轴、平面或点的对称性，它就变成了SO3（“三维特殊正交群”）。
施瓦茨希尔德的几何具有对称性。到目前为止，人们通常认为它具有SO3对称性（空间中的旋转）。但实际上，它的等距群是O3，因此包含P对称性（相对于一点的对称性）。重看前面的四面体。它相对于一点的对称体是第一个的P对称体。
在网站的“群”部分，我们展示了群如何“分泌”空间，更准确地说，是分泌几何物体。Souriau称这些为“群的种类”。因此，不是球体产生SO3群，而是相反。球体是这个群的种类。这里的“种类”是分类学意义上的（拉鲁斯词典。分类学：分类物种的科学）。我们说过，物理学家有时在不知情的情况下做数学，反之亦然。物理学家……