但是，存在一些本质上奇异的曲面，它们具有并非由坐标选择所导致的奇异性。例如下文：锥形奇点。
正如施瓦西1917年在坐标 t、r、q、j（时间、一个径向距离和两个角度，相当于方位角和仰角：“球”坐标）中表述的那样，施瓦西球面是奇异的。对于“径向坐标”r 的某个值 Rs（据称是从“几何中心”测量的），这个度规会给我们带来最糟糕的麻烦。在这个球面上，其中一项的分母为零。简言之，它在这个球面上是奇异的。这是一个本质奇点，还是由糟糕的坐标选择所导致的人为产物？这就是我们提出的问题。
顺便指出，“施瓦西几何”是一个四维超曲面，这使事情更加棘手。
克鲁斯卡尔正是聚焦于这一点。他构造了一个坐标变换，该变换除其他作用外，还使沿径向轨迹的光速保持恒定值。这样一来，他就把奇异方面“集中到物体中心”，形成一个“中心奇点”。从心理上，人们会觉得从中获益。解变成了“几乎处处正则”，数学家使用这个说法来表示解是正则的、没有病态的，除了在一个唯一的点上。
- 您不会为了一个简单的点就吹毛求疵、找我茬吧……
唉，克鲁斯卡尔的这个表述有一个严重缺陷：它在无穷远处不再还原出狭义相对论的空间。技术上，它在无穷远处不是洛伦兹的，不是“渐近洛伦兹的”。
这在物理学中是一个根本问题：奇点存在吗？大自然容忍奇点吗？答案以信念的形式表述（就像关于无穷存在或不存在的信念一样）。
我们寻求对同一施瓦西几何的新解释，试图消除一切奇点，并且成功了。因此我们的回答是：
- 施瓦西解的奇异性质仅仅是由糟糕的坐标选择所导致的。
技术上，一切都在于变量变换：
r = Rs + Log ch r
读作“r 等于 Rs 加上变量 r 的双曲余弦的对数”。为科学家、专家或普通学子简单插一句。对于会摆弄这个公式的人，量 r 从此不可能变得小于 Rs，即使 r 取遍负无穷到正无穷之间的一切可能值。
考虑一个由抛物线绕一条直线旋转而得到的曲面，像这样：
这个图形摘自文章。该曲面实际上是无限的，就像生成它的子午抛物线绕图中所示的 z 轴旋转一样。如果非要坚持用坐标 (r,z,j) 来想象它，那么当人们问“对于 r < Rs，这个曲面是什么样？”时，就可以预料到麻烦。
人们会找到一个……虚数的答案，带有负量的根号。原因很简单，因为那时人“在曲面之外”。
这个曲面在数学上被称为“非单连通”的，这个古怪的术语只不过是指这样的曲面：在其中，任何闭合曲线在曲面上滑动时，其周长都无法减小到零。
这在球面上是可能的，球面是“单连通”的。但在这个曲面上，人们看得很清楚，任何“绕着这种中央井转一圈”的闭合曲线，其周长都无法趋于零，极限就是“喉圈”的周长。环面也是如此，环面也是“非单连通的”。
我们从其度规出发定义了这样一个曲面，这很好地说明了问题。保留坐标 r 时，这个曲面看起来是奇异的。使用上面给出的变量变换后，它就不再奇异了。这个坐标 r 对应什么？它只是沿着子午抛物线“奔跑”，如图所示，在喉圈上取零值。曲面的一半对应正的 r，另一半对应负的 r。在点 [r, j] 的参考系中，不再有奇点。
我们决定将这类对象称为“环面桥”，与环面类比。
但是，仍然从度规出发，可以轻易证明，人们能够过渡到一个对象，一个三维超曲面，它包含一个“超环面桥”。那时就不再有一个喉圈，而是一个喉球面。正如对于上面的曲面，一个喉圈似乎连通了两层二维面，喉球面则连通了两个“三维半空间”。当人处于其中一个三维半空间中并潜入喉球面时，就会从另一个半空间中浮现出来。
回到上面展示的二维曲面。下图表明，通过画“人们以为同心的圆”，可以看到它们的周长减小，经过一个最小值，然后再次增大。
在三维中，必须想象一个完全包围喉球面的球面。然后是另一个，在这个球面内部（沿着给定方向，朝这个喉球面，应该说“在更远处”）。人们想象这个球面的表面积可能更小。但是，当到达喉球面时，面积经过一个最小值，然后重新增大……直到无穷，当人们延长操作时。
我们构造了这些二维和三维曲面的“度规”，它们包含一个“环面通道”和一个“超环面通道”，在第二种情况下，我们被与施瓦西度规的相似性所震惊，于是我们对它施行了这个坐标变换，使其“非单连通”的性质显现出来，对象的“内部”简单地变成了“其喉球面之外的彼方”。
这样就有可能消除一切奇点。
在这个阶段，我们只是把黑洞模型扩展为“黑洞-白泉”的配对。但是，仍然对于这个“外部观察者”，穿过这个超环面桥的时间始终是无限的。我们似乎只是改进了黑洞模型，解释了它通向什么。
我们说过，在几何解中，变量的选择是完全任意的。但适用于空间的也适用于时间。因此我们去寻找了爱丁顿在1924年发明的一种时间变量变换：
这里同样，我们提及它是为了科学家或普通学子。
t 是旧的“宇宙时间”，是施瓦西1917年初始解中存在的旧的“年代学变量”。
t' 是这个新的“爱丁顿时间”。Rs 是“施瓦西半径”（那么应该说施瓦西周长除以 2p）。
c 是光速（此处为常数）。
可能显得奇怪的事情：人们把时间和空间混在一起，但在这个问题上，人们有一切权利。时间坐标的选择，年代学标记坐标（time-marker）的选择是完全任意的。人们只要求：
-
度规是渐近洛伦兹的，也就是说在无穷远处，时空变成闵可夫斯基时空，即狭义相对论的时空。在我们的情况下，这行得通（克鲁斯卡尔的不行）。
-
这个新时间 t' 在无穷远处同样与“被假定为静止的观察者的固有时”等同。这也是这种情况（克鲁斯卡尔的不行）
这样一来，一个在无穷远处静止并朝施瓦西球面下落的测试粒子的自由落体时间，相对于“外部观察者”（他遥远且静止）所经历的时间，就变成了无限。
相反，粒子会在无限时间后从这口“井”中浮现出来。如同在黑洞中，人们因此可以进入这种三维的井，但不能出来，除非经过无限时间。
另一侧是一个“涌泉”。但是，以这样的时间选择（t'），粒子会在无限时间后从这涌泉中浮现，而它却能在有限时间内进入其中。某处卡住了。解决办法是进行一种双重变量变换，这是人们完全有权做的。对于被假定为我们所在的那段时空：
在“孪生宇宙”中：
宇宙机制于是完美运作。
-
没有奇点。
-
可以进入“井”但不能出来（黑洞）
-
可以从涌泉出来，但不能进入其中（白泉）。
好吧，您会对我说，我们在进步……
是也不是。物质在这个超环面通道中的通行时间是几十毫秒，而这个摩洛克能够吞下任何东西，比如十个太阳质量，所用时间比一颗子弹穿过一张扑克牌还短。
结论是，通过对这个几何解的更理性的重新解释，黑洞不可能存在。它们是……数学虚构。它们只能凭借这种“时间冻结”而存在。然而，有了这个满足一切物理学要求的“爱丁顿时间”，通行时间就变成了有限的。
结论：在我们看来，这个施瓦西几何只不过是一个超空间转移的非定常过程的一张瞬时快照。这有点像有人给您看一张被抛到空中的铁砧的照片，而您据此得出结论说铁砧能在空中漂浮。施瓦西解同样是一个方程的解，该方程意味着宇宙是完全空的，物质能量密度在每一点都为零。这就像有人给您看一张足球场的照片，拍摄于中场休息时球员们去休息的时候，而您据此得出结论说足球是在一块……空场地上踢的。
但是那么，会发生什么呢？
我们已经证明，在穿过喉球面时，时间坐标会反转。如果我们把与我们“时空一侧”对应的时间（爱丁顿时间）称为 t'，把孪生宇宙的“时间标记”称为 t'*，则有：
t'* = - t'
请注意，安德烈·萨哈罗夫在1967年第一个提出，在“大爆炸”时刻创造了两个时间相反的孪生宇宙。
剩下的问题是，这种“时间反转”的意义意味着什么。是不是说当人潜入孪生宇宙时会变年轻？我们已经证明不是。人“带着自己的固有时”，如果通过一个对称结构从稍远处出来，人浮现时不会比进入这个孪生宇宙时更年轻。不可能像巴雅维尔《不谨慎的旅行者》主题中那样“杀死自己的父亲”。
群论再次让我们阐明了这种时间坐标反转的“本体论”意义。当一个粒子潜入孪生宇宙时，它的引力作用始终能被感觉到，但它对引力场的贡献于是变成负的。它的“引力质量”反转了。
顺便说一句，这完全证明了网站和《我们失去了半个宇宙》（阿尔宾·米歇尔出版社）一书中发展的模型。在孪生宇宙中游荡的质量，相对于我们这里存在的质量，表现得像排斥质量。完整的动力学是：
-
在我们的宇宙中，质量按照牛顿定律相互吸引
-
在孪生宇宙中，质量按照牛顿定律相互吸引
-
当位于时空两个“相邻”部分的质量相互作用时，它们相互排斥。
这是时间变量（但不是固有时）反转的简单后果。
群论还表明，物质-反物质的对偶性存在于两个宇宙中，正如安德烈·萨哈罗夫所猜想的那样。
当一个物质粒子成功进入孪生宇宙时（我们将在后面看到如何），它仍然是物质，但是“CPT对称的”。这就是物理学中著名的“CPT定理”的意义（从未被证明。苏里奥称之为“物理学家的定理”）。经典上，物理学家说“物质的CPT对称体与物质相同”。所谓CPT对称，应理解为：
-
粒子在这个新参考系中“逆时间”行进：T对称。
-
它是反形体的，左右反转，“镜像”的：P对称。
-
它的一切“荷”都反转了，包括它的电荷，如果它有电荷的话。这是C对称。
对我们来说，一个粒子的CPT对称体是一个孪生粒子（或已进入孪生宇宙的粒子）。它是一个孪生粒子。由于有T对称，它的质量自动反转（结果最初由J.M.苏里奥于1974年获得）。
一个粒子的C对称体是它的反粒子。
费曼曾发现，一个粒子的PT对称体表现得像反粒子。正确，但那是……孪生宇宙的反物质，具有负质量（因为也有T对称）。这一切都源自群论的故事。这项工作与迄今为止发表的一切（在网站中，见“几何物理学B”中“反物质的几何化”一栏）建立了联系。可以用生动的方式说明这桩空间反转的事情。在论文中，人们对表象空间的概念颇为强调。这是我们在大脑中想象几何对象时所处的空间。我们在上面使用了一张图片，其中可以看到兰图鲁把他的手伸进这个喉球面，而它似乎浮现到另一个三维宇宙中。为了绘图的方便，我们把两个图形分开了。但有一件事您起初大概没有注意到：兰图鲁伸进这个球面的是一只左手，而从其中浮现的却是一只右手。这并非偶然。
这第二个宇宙在哪里？
它嵌套在我们的宇宙中，这很难理解。但回到二维曲面，回到“平面国”，这会比较简单。