这里，我们把图形稍微“精简”了一下，以便让它更易读。曲面是一个二维对象，在这里被“嵌入”到一个三维欧几里得空间中，也就是R3中。在上面，我们可以“看到”它。恰好这个曲面可以“等距地”嵌入这个R3空间。也就是说，如果我们在上面贴一条胶带，这条胶带确实会沿着连接曲面上两点A和B的测地线贴合。而且，沿这条测地弧测得的长度也是正确的。这是等距的，从词源上说就是“相同长度”。下方是一个二维表示空间，它给出的表示不是等距的。弧A'B'的长度不等于弧AB的长度。用一张纸、一支铅笔和一把剪刀制作下面的对象：
这个图不是等距的。首先，所画的曲线显然不是平面的测地线。其次，弧AB的长度不是“真实长度”，不是在“真实曲面”上会测得的长度，而那个“真实曲面”是“没有被挖洞的”。这张被挖了洞的纸只不过是一种方便的表示，仅此而已。同样，这种技术在纸的正面画一笔、在背面画另一笔，整条曲线只有通过透明才显现出来。
在下面的图中，画出了这个曲面的测地线，由计算机计算得出（见文章中的图）。
曲线的虚线部分对应于“另一侧”的分支（就像我们从“上方”看这个曲面一样）。
现在，一个问题：我能为这些测地线构造一个平面且等距的表示吗？答案是肯定的。我们已经看到，我们可以把变量r换成变量r。那么测地线完全可以画在一个“极坐标”（r，j）平面中。这些测地线（这里是一条非径向测地线）的样子如下：
这个表示是等距的。设A、B、C是曲面上位于同一条测地线上的三个点。A'、B'和C'是在这个表示[r，j]中的对应点。点A和B位于同一半叶上，连接它们的测地弧不穿过喉圆。在这个平面中，沿这条测地线的像（它显然不是这个平面的测地线）测量，弧A'B'的长度等于在曲面上测得的弧AB的长度。
弧BC穿过喉球。同样如此。
但这种等距性并不适用于曲面的所有测地线。存在一条独一无二的测地线：喉圆，在这里被缩成一个点。这是这个曲面上唯一一条自我闭合的测地线。
测地线是我们理解一个曲面或更一般地理解一个非平面、非欧几里得空间的唯一方式。它们是可靠的参照（即使我们通过二维或三维（透视）表示系统对它们有扭曲的视觉）。我们知道这些测地线“存在”，它们是内蕴的。例如，球面的测地线是大圆。就时空而言，其中充满了无数条时空测地线。这些测地线内蕴地存在，而为了理解（从词源上说：环抱、拥入怀中），我们像盲人一样试图“触摸”这些测地线。但时间和空间的坐标线没有任何内蕴实在性，正如两族经线和纬线并不构成球面的组成部分一样。它们不是“随附”的。施瓦西几何，作为爱因斯坦场方程的解，是一个四维超曲面。理论家们在那上面贴上了“恒定t”、“恒定r”等曲线族。
请牢牢记住，这些做法完全是任意的。但即使是理论宇宙学的专家们也常常忘记这一点，而数学-几何学家必须不时提醒他们。因此，改变空间和时间坐标是完全合法的。
到了这一步，你会对我说：那么，凭什么说这种坐标选择比那种更好？合理与不合理在哪里？这是品味问题。选择空间和时间坐标，就是把一种物理视角贴到一个数学对象上。就地球而言，我们给它指定了极点，因为它自转。北极 simply 是“地球”表面上法线指向北极星的那个点，而北极星在星空中是固定的。
关于等距和非等距，制图学说明了试图把球面表示在平面上所产生的问题。墨卡托投影（把地球球面投影到沿赤道相切的圆柱面上）对住在赤道附近的人非常友好。相反，极点附近的居民则会有一个糟糕的惊喜：他们那个点状的领域变成了一条直线……
把球面投影到平面上有三万六千种方法。想象这一种：
想象我们按照这个模型制作地图并出售。两个极点附近的居民会立刻欢迎：这些投影在这些地区几乎是等距的。非常方便了解那些地方的距離。如果地球在两极可居住而在其他地方相对不宜居，地图大概就会这样制作。我们会注意到，那时平面投影的边界圆不再对应于赤道，而是对应于一条纬线（这里属于北半球）。在这个区域附近，地图将远离等距。而且，在这张奇怪的地图上，一部分领土必须用实线画出，另一部分用虚线画出，因为它位于那条纬线之外，而对象在那里奇怪地似乎“折回”了。除非提供圆盘形的地图，而其余地形则画在另一面，即纸的背面。
让我们试着“把这一切在三维中思考”。我们画了Lanturlu把他的左臂伸进喉球，并且把两幅图分开了，这似乎暗示这第二个三维空间可能在“别处”。更正确的做法应该是把两幅图按透视叠合，把（右）手画成“虚线”浮现出来。
我试着这样做了，尽管这并不非常容易。也可以用两种不同的颜色，例如红色表示在我们这个非单连通三维空间的第一个三维侧面中的东西，绿色表示在另一个侧面中的东西。一个红色的Lanturlu就会看到，例如，他伸进喉球的那只红色左手，以一只绿色“右手”的形式露出来。
可惜Raymond Devos对数学不感兴趣。不过……
显然，“在”喉球“里面”什么也没有。这种内部的、有体积内容的表象，仅仅来自对这个三维表示空间的选择。同样，在纸上挖出的洞的“内部”，也没有纸。那只是与选择这个平面表示空间有关的一个偶然。有人若执意使用这个平面表示而不把剪下的圆盘拿掉，并坚持问“里面有什么？”，那就是“没开窍”（或者更确切地说……在里头）。这个圆盘“不存在”。
回到三维。当Lanturlu把手臂伸进喉球时，喉球也没有内部。这种内部的表象仅仅来自对表示空间的选择。可以认为，Lanturlu和他浮现出来的手被画在一张有三个维度的纸上，而在这张纸上我们挖掉了……一个球（相当于纸上圆盘的三维版本）。在数学上，圆盘是一个“b2球体”，而一个“体积球”是一个“b3球体”。所谓“球体”，是指一个可收缩的胞腔（见“CD-Lanturlu”中的《Topologicon》），也就是说一个可以通过自身遍历而收缩成一点的对象。这些二维和三维例子是为了说明文章所遵循的路线：施瓦西球没有“内部”，也没有“中心”。当穿过它时（超环面穿越），我们会发现自己处在“时空的另一个侧面”。
这种对“施瓦西几何”的新解释的正当性何在？
回答：消除奇点。Kruskal用他的“解析延拓”千方百计要不惜一切代价“钻入”这个该死的球。他只成功地把奇点（最初由施瓦西球扮演的角色）压缩成位于“这个对象中心”的一个点。人们满足于这个把戏。但我们认为，没有奇点终究更好。
当我们从错误的角度看自然时，自然就通过分泌奇点来抗议。我们就是这样看事物的。这是对“实在”的一种先验观点。我们认为奇点在自然界中不存在。我们也认为无限也不存在。但正如吉卜林会说的，那是另一个故事了。一年前我和Souriau就这个问题有过激烈的讨论。
—— 你怎么证明无限存在？……
—— 可是，没有无限，就没有数学了！……
—— 无限，你遇到过吗？你见过它，把它握在手里过吗？
—— 那是一种……方便。
—— 人们通过假设可以无限地给一个数加1，来生成无限大的数。所以你是用一个序列的无限来生成一个数值的无限。你那个东西是循环论证。
—— 好吧，就算这是一种方便。人类在其历史进程中发明了两样重要的东西：无限和厕所……
我也不相信无限小存在，无论物理上还是数学上。但这将是其他文章的主题。暂时把这些问題放在一边。只是题外话。
顺便提一下，见P.Midy和J.P.Petit的“Scale Invariant Cosmology”，International Journal of Modern Physics D，1999年6月，第271-280页，我们在那里让“宇宙的初始奇点”消失了。这是对我1988-89年在Modern Physics Letters A上发表的想法（网站上的论文）在数学上更精细的重新表述。
我希望当你读到这些文字时，我们已经有时间，在Lecot或Boland先生的帮助下，把这篇文章纳入网站。但无论如何，即使这项工作被收录在那里，也不要贸然涉足。正如我想是阿基米德在一个科学圣殿入口处写下的：“不懂几何者不得入内”。那是张量之类的东西，是Midy乐在其中的领域，但也像英国布丁一样难消化。
因此，通过这番话可以看出，我们对现象的物理视角源自我们决定如何表象它们。我们通过修改空间坐标，改变了“局部拓扑”——Souriau说，这个词值得在数学上加以明确。事实上，这句话是委婉说法：当我说出这个词时，他简直大叫起来。他的猫Pioum和我费了好大劲才让他平静下来。Souriau是数学界的图纳索尔。他乐于把数学上的愤慨发挥到极致。但这些愤慨发作不能与通常意义上的愤怒混为一谈。在这个领域，我倒更像是“茹尔丹先生”。物理学家常常不知不觉地做数学（反过来也一样）。
暂且承认使用“未精确”的词，一切就好像人们迄今认为施瓦西几何的“局部拓扑”是“超球面的”（认为施瓦西球“包含”一个“b3球体”）。我们把它变成了“超环面的”。这就是为什么我提出了“超环面几何”这个（未经审定的）名称。
上面提到了空间的反转。这要用群来协商。能否以别的方式理解？我们看到，Lanturlu把左臂伸进喉球，却看到……一只右手露出来。事实上，他手上的每个原子都沿一条“径向”测地线运动，方向垂直于曲面。
顺便注意，我们忘了说，这种表示方式不是等距的。就像刚才那个挖纸的把戏一样。如果测量Lanturlu手上一个示踪原子在两个半空间中所经过的长度，这与用绳子可以计算出的真实长度并不一致。
再看前面给出的一幅图。
这里，我们画了一条穿过喉圆的测地弧AB，以及它在下方平面表示空间中的像。非等距表示的特征于是更加明显。弧AB和A'B'的长度差别很大。
显然，相当难以想象能把一根绳子穿进超环面穿越的喉球中。而且，拉紧绳子会得到一条测地线（最短路径线）。此外，如果在三维表示空间（Lanturlu把手臂穿进去）中测量这根绳子的长度，并冒险测量这根绳子在该空间中的长度，会发现一个更短的A'B'长度。在三维超曲面中测得的真实长度会更长，如上图二维所示。因此，画有Lanturlu的三维表示是非等距的，就像上图平面表示一样。
归根结底，这些源自群论的如此微妙的概念，借助几幅图，最终变得不那么晦涩，条件是“在空间中看”。我正试图教你的，就是在弯曲的三维空间中看。
回到这种对映异构、对象穿过喉结构时反转的问题，无论二维还是三维。在二维中考虑“径向”测地线。这个词已变得不恰当，因为射线原则上是从一点出发的直线。实际上这里说的是j恒定的测地线。见上面一幅图，其中标出了这个方位角坐标。但为了简洁，我们继续加引号使用“径向”一词。注意，“径向”这个词仍然是选择表示空间的产物。想象一个字母R（它与其镜像、其对映像并不相同）像一张贴歪的转印贴纸一样，沿着我们的环面穿越滑动，它的每一点都沿一条测地线行进。这个字母会到“另一侧”。有趣的是在平面投影中、在表示空间中看这一操作的结果。
我们画了一种带子，其边缘由两条测地线构成。我们看到了什么？在表示空间中，字母R反转了，变成了一个俄语的“ia”，一个反过来的R，对映的。我们现在开始明白，为什么Lanturlu的手在“我们的三维表示空间”中重新出现时似乎反转了，变成了对映的。