3）[r, j]表示中的测地线。
将（6）代入（14），令dr = thr dr，得到：（17）
这给出了测地线的[r, j]表示。当r趋近于零时，dj/dr趋近于有限值，因此倾斜角的正切：（18）
在原点处趋近于零。在这样的表示中，施瓦茨希尔德喉部圆的图像为一个圆锥点。** ** **
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图4：图3中所示的测地线，在(r, j)坐标系中。
喉部圆的交叉点对应于点O
这是测地线的一种等距表示。请注意，我们也可以在[z, r, j]系统中表示该表面，但这不再是等距表示。我们得到相应的子午线：（19）
当r趋近于零时，z(r)是线性的。当r趋近于无穷大时，函数趋近于抛物线。
图5：在非等距[r, j]表示中的表面子午线。 ****
在这样的表示中，施瓦茨希尔德喉部圆的图像为一个圆锥点。** **
4）**扩展到具有球对称性的三维超曲面。 **
这可以扩展到一个三维超曲面，其线元为：（20）
该度规指的是一个三维超曲面，这里用[r, q, j]坐标系表示。变量r不是“径向距离”，对应于“球坐标”。在这一新的线元表达式中，我们发现了类似的病理现象，可以通过引入相同的坐标变换（6）来消除。
[ r, q, j ] ® [ r, q, j ]
然后该线元变为：（21）
其符号变为（+，+，+），其行列式为：（22）
不再为零。
该超曲面的测地线位于平面上。q = p/2是其中之一。在它们的[r, j]表示中，它们与图2中的测地线一致。等距群为O3，相应的轨道为球面。其中有一个轨道具有最小面积（这种三维“环形桥”的喉部球面）。球面轨道的大圆不是测地线，除了位于喉部球面上的特殊情况，其周长为2 p Rs。这种特殊球面的测地线是唯一的闭合测地线。我们可以称这种特殊的几何为“超环面几何”。这个三维表面不是单连通的。它有一个三维折叠，可以看作是两个有限的三维半折叠沿其球形边界（喉部球面）粘合而成。在远离这个“超环面桥”的地方，度规趋于欧几里得度规，这里用球坐标表示：（23）
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
5）**施瓦茨希尔德几何。 **
经典上，人们认为其等距群为SO3 × R，其中R表示一维平移。于是人们说这个度规是时间无关且具有球对称性的，认为R对应于时间平移。
在[x°, r, q, j]坐标系中，x°为时间标记，线元为（24）
经典上，人们设定x° = ct，这被认为是定义“外部观察者”的宇宙时间t。当r >> Rs时，（21）趋于闵可夫斯基度规。经典上，r被当作径向坐标。（21）显示了grr项的奇异性，并在r = Rs时改变了符号。
再一次，我们可以使用坐标变换（6）来规范化这个度规，转换到[t, r, q, j]系统。此时线元变为：（25）
等距群O3的轨道是球面。其中有一个，即喉部球面（施瓦茨希尔德球面），具有最小面积。该超曲面不是单连通的。它形成一个时空折叠，可以看作是两个四维时空半折叠（双胞胎折叠），第一个对应于r > 0，第二个对应于r < 0，因此喉部球面对应于r = 0。我们可以计算位于q = p/2平面内的测地线。按照“球坐标”：
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图6：球坐标。
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元素为dr² = r² ( dq² + sin²q dj² )
j = 常数的圆是球面的测地线，但显然它们不代表表面的所有测地线。只有经过两个对径点（极点）的那些。
q = 常数的圆不是测地线，除了对应于q = p/2的圆（赤道）。
在[r ≥ Rs, j]坐标系中，这些（非零长度）测地线对应于：（26）
常数集合[l, h]的选择决定了测地线。其中我们找到了类似双曲线的测地线，它们不穿过喉部球面r = Rs。见图7。
图7：施瓦茨希尔德几何。
[ r, j ]表示的不穿过喉部球面r = Rs的双曲线型平面测地线
我们还找到了准椭圆测地线。见图8
**图8：施瓦茨希尔德几何。
[ r, j ]表示的准椭圆测地线。 **
现在让我们关注穿过r = Rs喉部球面的测地线。在[r, j]表示中，设a为测地线切线与径向矢量之间的角度。（27）
第一个拉格朗日方程给出：（28）
对于r ≥ Rs的值，参数l严格为正。另一个拉格朗日方程是：（29）
并给出角度j相对于固有时s的单调变化。在这个(q = p/2)平面中，旋转取决于h的符号。
根据这种对施瓦茨希尔德几何的新解释（将其视为非单连通的超曲面），我们可以如图9所示在[r, j]表示中表示测地线。
图9a：[r, j]表示的穿过喉部球面（施瓦茨希尔德球面）的测地线，对应于h ≥ Rs
测地线的一部分用虚线表示，因为它被认为属于第二个三维半折叠，沿喉部球面（施瓦茨希尔德球面）与第一个半折叠相连。这暗示了某种断裂。但这种断裂是由于这种特殊的[r, j]表示系统，它更符合我们（有限的）人类几何直觉。在三维表示空间中，我们得到图9b。粒子似乎“弹跳”在施瓦茨希尔德球面上。
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图9b：在三维欧几里得表示空间中，粒子似乎弹跳在施瓦茨希尔德球面上。
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从这个角度来看，“施瓦茨希尔德球面内部什么都没有”，因为在这个“内部”，我们只是“在超曲面之外”。请记住，喉部球面，施瓦茨希尔德球面对应于r = 0。第一个半折叠对应于(r > 0)，第二个对应于(r < 0)。
在[r, j]表示中，测地线的外观变得相当不同。我们计算测地线与径向矢量之间的角度b的正切（见图6）。（30）
当r趋近于±0时，thr ≈ r，因此：（31）
在[r, j]表示中，从一个半折叠到另一个半折叠的测地线与径向矢量相切。在原点处不再有角度不连续性，该点是喉部圆（r = 0）的图像。为了完整描述这些测地线，我们必须回到用[t = x°/c, r, q, j]坐标系表示的线元（24），使用拉格朗日方程组，其中：（32）
在这些方程中，我们找到了：（33）
对于给定的h值，j相对于固有时s的演变是单调的。
图10：[r, j]表示的穿过一个半折叠（r > 0）到另一个半折叠（r < 0）的测地线。 **
如前所述，属于第二个三维半折叠的测地线部分用虚线表示。
我们无法给出四维超曲面的嵌入，就像我们在文章开头对二维表面所做的那样。此外，我们处理的是四维测地线，而不是三维测地线。[r, q, j]和[r, q, j]空间只是表示空间，它们被设想为使事情更清晰一些。真正的测地线位于四维空间中。无论如何，[r, q, j]表示暗示了一个三维“超环面桥”，而[r, q, j]表示暗示了一个三维“超圆锥”。在这种二维表面的第二种（三维）表示中，测地线从一个半折叠穿过(r = 0)点到另一个半折叠。这类似于一个二维圆锥。见图11
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图11：圆锥的测地线。右图：一个具有圆锥点的表面。
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