6）时间标记的选择。
在对应于线元（25）的坐标[t, r, q, j]中，度规张量的行列式为：（34）
当r变为零时，该行列式为零。然而，1924年，Eddington [10] 表明度规张量的零性取决于坐标。首先回到初始形式（35）
强调坐标系的选择是纯粹任意的，因为度规张量是张量方程（36）
S = 0
的解，它在坐标变换下是基本不变的。我们决定粒子沿测地线运动。任意选择的坐标为这种几何解赋予了物理意义。我们可以选择x° = ct，c为常数。但我们可以选择另一个参考系。由我们决定。对于选定的时间标记x°，或t, x，唯一的要求是度规张量是渐近欧几里得的：（37）
或：（38）
如在笛卡尔坐标系中所表达的。请注意，一个黎曼度规张量是欧几里得的，如果能找到一个坐标系，使得线元的二次形式具有常数系数。符号的集合构成了签名。如果这个签名是（+ - - -），则这是一个闵可夫斯基度规。（39）
被识别为一个基本距离，似乎合理地要求度规在“远距离”处是渐近欧几里得的，无论选择的“远距离”定义是什么（r或r，如上所述）。
“宇宙时间”或“空间标记”的定义仍然是一个完全自由的选择。相反，我们不能改变固有时s，或者更准确地说，两个给定点之间的时空间隔Ds，因为它本质上与坐标无关。此外，假设粒子可以在给定的测地线上双向移动。
**
图12：粒子沿给定测地线的运动。
**
粒子沿测地线的运动是一个现象。变体中的另一条测地线被假定对应于“静止的外部观察者”。但静止状态取决于坐标选择（x°, x1, x2, x3），这是完全任意的。
这个“外部观察者”被认为位于变体中度规是欧几里得或准欧几里得的区域，即形式为（37）。那么静止条件意味着（40）
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
对于这样的静止观察者，任何固有时间隔都与任意选择的“宇宙时间”间隔相等：（41）
Ds = Dx°
...宇宙时间的选择是纯粹任意的，因此测试粒子在时间上的演化取决于这一选择。考虑给定测地线上的两点A和B，假定对应于外部观察者。这些点是时空事件。在图13中，虚线被假定对应于恒定的宇宙时间x°。
**
图13：一个“静止的外部观察者”，“观察”测试粒子沿测地线的演化。宇宙时间x°
**
现在考虑另一个宇宙时间x的选择。见图14。
**
图14：一个“静止的外部观察者”，“观察”测试粒子沿测地线的演化。宇宙时间x **
请注意，虚线不代表光子的轨迹。光子沿特殊的零测地线移动，这些测地线在坐标变换下是不变的。
我们仍然有Ds(O) = Dx° = Dx，但Ds'(TP)和Ds"(TP)间隔可能非常不同，尽管它们指的是同一条测地线，因为(A',B')和(A",B")对可能不同。从根本上说，它们取决于所选择的时间坐标，或“时间标记”。
7）Eddington的时间坐标变换及其扩展形式。
Eddington于1924年引入的以下坐标变换，说明了这一点，是：（42）
线元变为：（43）
由于在r = Rs球面上gxx项消失，该球面成为无限红移面（如经典的施瓦茨希尔德线元所示）。矩阵变为：（44）
其行列式为：（45）
- r 4 sin2 q
无论r的值如何都不会消失。出于稍后将解释的原因，我们将此坐标变换扩展为：（46）
在坐标系(x, r, q, j)中，线元变为：（47）
其行列式具有相同的形式（44）。请注意，Eddington的坐标变换对应于d = -1。我们使用基于函数（48）的拉格朗日方程研究测地线：
其中：
此外，从线元的表达式中，我们通常对物质粒子（ds ≠ 0）有：（49）
一个拉格朗日方程给出：（50）
考虑平面测地线q = p/2，这给出：（51）
在测地线上，相对于固有时s，j的演化是单调的。另一个拉格朗日方程给出：（52）
即：（53）
结合（49），令人惊讶的是d消失：（54）
请注意，如果r趋于无穷大时dr = 0（速度为零），则对应l = 1。当r趋于无穷大时，根据（53）：（55）
如果l ≥ 1，当r趋于无穷大时，我们得到：（56）
其中
我们得到（57）
在坐标系[r, j]中，我们重新得到非零测地线（ds ≠ 0）的经典微分表达式：（58）
它提供了图7、8和9的模式。我们现在可以定义一个新的宇宙时间：（59）
x = ct
...线元（43）仍然是渐近欧几里得的。在“远距离”处，静止观察者的固有时Ds与时间间隔Dt相等。
8）径向路径的时间间隔。
我们可以从微分方程（60）计算质量非零粒子沿测地线的时间间隔Dt = Dx/c：
对于“径向测地线”（h = 0）：（61）
在施瓦茨希尔德球附近，我们得到：（62）
l = 1对应于速度趋于无穷大的测试粒子。
考虑这个特殊情况：（63）
根据（54）
n = -1对应于路径（dr < 0）。
n = +1对应于路径（dr > 0）。
...请注意，Eddington的特殊坐标变换对应于（r ≥ Rs）d = +1。当我们计算测试粒子沿新宇宙时间的径向时间间隔Dt时，我们发现这个时间间隔取决于运动方向和d的符号，即dn的乘积。当它为正时，沿径向测地线（r ≥ Rs）的测试粒子的时间间隔是有限的。当它为负时，这个时间间隔变为无限。
...作为第一个结果，如果应用于对称球形黑洞模型，Eddington的坐标变换给出有限的自由下落时间Dt。当r = Rs时，粒子的速度变为：（64）
一个测试粒子，向施瓦茨希尔德球下落，以速度c到达该球。
9）光速。
光子沿零测地线移动，对应于：（65）
考虑速度：（66）
根据（65），我们得到：（67）
当r趋于无穷大时，vj趋于±c。
当dr < 0时，我们有n < 1。那么，当r = Rs对于路径（dr < 0）时：（68）
当测试粒子沿径向路径向施瓦茨希尔德球下落时，它以光速到达该球。总结如下：（69）
（70）
光速在考虑路径（dr > 0）或（dr < 0）时是不同的。
10）框架拖拽效应。
考虑克尔度规：（71）
其中r是不同于上述定义的空间坐标。我们只是重复了参考文献[1]中的方程7.110。计算光子（ds = 0）在切向于圆周（q = p/2，r = 常数）运动时的速度。我们得到：（72）
即两个不同的值。这对应于方位拖拽，是克尔度规的特性。根据参考文献[1]，7.7，“克尔解和旋转”，我们读到：
一个非常有趣的物理效应源于克尔解的旋转性质；一个沿测地线运动的物体受到与参数a成正比的力，类似于科里奥利力。粗略地说，我们可以认为旋转源“拖拽”其周围的时空。在马赫意义上，源在无限处的洛伦兹边界条件“对抗”以建立一个局部惯性框架。
用Eddington坐标重新表述，黑洞作为场源，会诱导一个径向框架拖拽。
11）黑洞和白洞。
在第4节中，我们建议对施瓦茨希尔德几何的一种新解释，其中施瓦茨希尔德球，见图9，表现得像一个连接两个“半时空褶皱”的喉部球体。我们可以想象一个类似的结构，结合以下两个施瓦茨希尔德几何：（73）
（74）
这两个都是从（43）导出的，第一个表达式（73）对应于d = -1，第二个（74）对应于d = +1。连接没有问题，因为d不出现在测地线[r, j]表示的计算中。见方程（58）。我们得到一对“黑洞-白洞”，没有“中心奇点”。物质可以进入黑洞，但不能从中出来。另一方面，物质可以逃离白洞，但不能进入。在一方的时间是有限的，而在另一方的时间是无限的。用新的宇宙时间x计算的有限时间与用固有时s计算的时间相似。对于径向路径：（75）
这个时间非常短。正如本文所展示的，黑洞模型依赖于特定的坐标选择，尤其是宇宙时间的选择。如第6节所述，时间标记的选择是完全任意的。经典选择给出了一个准静态系统，在这个系统中，物质被注入黑洞时，相对于外部观察者“冻结在时间中”。但本文表明，基于Eddington思想的另一个时间标记选择“解冻”了这个过程。因此，从考虑的观点来看，黑洞或黑洞-白洞对不能作为永久存在的物体，因为它们每毫秒可以吞噬数十个太阳质量。因此，仍然存在一个开放性问题：
- 当中子星超过其稳定性极限时会发生什么？
12）表示空间。
在尝试提出一个替代模型项目之前，让我们谈谈我们可能称之为“表示空间”的东西。在文章的开始，我们研究了一个由其线元定义的二维表面。结果表明，可以将这个表面嵌入R3，从而得到这个几何对象的等距表示。顺便提到了一个表示[r, j]。
不可能给出一个四维超曲面的明显表示，因为我们无法绘制它或展示相关图像。然而，超曲面可以在许多表示空间中表示，对应于不同的坐标选择，因为该对象本质上是坐标不变的。例如，我们可以引入变换（6）。线元变为：（76）
对于r > 0
和：（77）
对于r < 0。
“径向”测地线（例如q = p/2，dj = 0）会汇聚到系统的几何中心O（在这种特殊表示中）。这一点类似于一个“超圆锥点”。在三维空间中，关于一点的对称性是P对称性。
在坐标系[t, r, q, j]中，施瓦茨希尔德线元是P对称的。它也是时间无关的（时间平移不变性，即对应于一个稳态）和时间对称的（T对称性），在变换下不变：
t → -t
以爱丁顿坐标重新表述，黑洞作为场源，会引发“径向参考系拖拽”。
11）黑洞与白洞。
在第4节中，我们提出了对施瓦茨希尔德几何的新解释，其中施瓦茨希尔德球体（见图9）像一个“连接两个‘半时空褶皱’的喉部球体”。我们可以想象一种类似的结构，结合以下两种施瓦茨希尔德几何：（73）
（74）
这两个几何体都来源于（43），第一个表达式（73）对应d = -1，第二个表达式（74）对应d = +1。由于d不出现在计算测地线的[r, j]表示中，因此连接没有问题。参见方程（58）。我们得到一对“黑洞-白洞”，没有“中心奇点”。物质可以进入黑洞，但不能从中出来。另一方面，物质可以从白洞中逃逸，但不能进入。单向的传输时间是有限的，而另一方向则是无限的。用新的宇宙时间x计算的有限传输时间与用固有时s计算的相似。对于径向路径：（75）
这个时间非常短。正如本文所示，黑洞模型基于坐标选择的特殊性，尤其是宇宙时间的选择。如第6节所述，时间标记的选择是纯粹任意的。经典的选择给出一个准稳态系统，其中物质落入黑洞的过程相对于外部观察者“被时间冻结”。但本文表明，另一种基于爱丁顿思想的时间标记选择“解冻”了这一过程。从这个角度来看，黑洞或黑洞-白洞对不能作为永久存在的物体，因为它们每毫秒可以吞噬数十个太阳质量。因此，仍然存在一个开放性问题：
- 当中子星超过其稳定性极限时会发生什么？
12）表示空间。
在尝试提出一个替代模型项目之前，先谈谈我们称之为“表示空间”的东西。在文章开始时，我们研究了一个由其线元定义的二维表面。结果表明，可以将该表面嵌入R3中，从而得到该几何对象的等距表示。顺便提到一种[r, j]表示。
由于我们无法绘制或展示图像，因此无法给出四维超曲面的明显表示。但该超曲面可以在许多表示空间中表示，对应于不同的坐标选择，因为该对象本质上是坐标不变的。例如，我们可以引入变换（6）。那么线元变为：（76）
对于r > 0
和：（77）
对于r < 0。
“径向”测地线（例如q = p/2，dj = 0）会汇聚到系统的几何中心O（在这种特殊表示中）。这一点类似于“超圆锥点”。在三维空间中，相对于一点的对称性是P对称性。
在该[t, r, q, j]坐标系中，施瓦茨希尔德的线元是P对称的。它也是时间不变的（时间平移不变，即对应于稳态）和T对称的，即不变于：
t → -t