13）等距群。
设a为一个三维旋转矩阵。写成：（78）
SO3 × R群的一个元素可以用矩阵表示为：（79）
这由两个矩阵的乘积组成。第一个：（80）
属于SO3。
第二个：（81）
属于时间平移群R。引入P和T对称性。我们得到一个四部分群，其元素为：（82）
这是两个矩阵的乘积：（83）
和：
（84）
我们称这个第二个子群为E1（一维欧几里得群）。在表示[t, r, q, j]中，等距群为O3 × E1。回到在坐标系[t, r, q, j]中线元的表达式：（85）
……通常认为相关的等距群是SO3 × R，但这不是最大的。实际上它是O3 × E1，因为线元在空间和时间反演下也是不变的。
现在考虑以“扩展爱丁顿形式”表达的线元（86）
我们写成：（87）
引入空间直角坐标系[x1, x2, x3]：（88）
（89）
（90）
那么线元可以用坐标[x, x1, x2, x3]表示。（91）
我们现在寻找在该特定坐标系中度量的等距群。首先有P对称性。线元在以下变换下不变：（92）
x1 → -x1
x2 → -x2
x3 → -x3
它在以下变换下也保持不变：（93）
x → -x
d → -d
以及时间平移：x = x + ε。这对应于以下四部分群：
其元素是两个矩阵的乘积。第一个：（94）
对应于O3，第二个形成一个子群，其元素为：（95）
称这个第二个子群为“TF”。
因此，（86）的等距群为：
O3 × TF
现在考虑在坐标系[t = x/c, r, q, j]中表达的施瓦茨希尔德度量。我们可以将（76）和（77）两个表达式合并为：（96）
请注意，d = -1处理r > 0的时空的一半，而d = +1处理r < 0的另一半时空，假设“黑洞”位于我们的折叠中，而“白洞”位于“孪生折叠”中。
如果情况相反，即“黑洞”位于“孪生折叠”中，而“白洞”位于我们这边，那么：
d = +1处理r > 0的时空的一半
d = -1处理r < 0的时空的一半
考虑第一种情况（“黑洞”在我们的宇宙中，“白洞”在“孪生折叠”中）。在这种情况下，度量为：（97）
进行变换：
r → -r
t → -t
d → -d
我们得到第二个度量：（98）
请注意，当r = 0时行列式为零，这对应于空间（对映异构）和时间坐标的局部反转。事实上，我们需要非零行列式来定义高斯坐标。参见参考文献[1] 2.4
如果行列式不为零，就可以定义一系列超曲面（x°或x或t = 常数）（对应于所选时间标记的常数值），这些超曲面与x°或x或t坐标线（“世界线”对于“稳定点”）正交。
图15：参考文献[1]中的图2.1
我们可以像之前一样用直角坐标系表达（97）和（98），并重新得到（92）和（93）。度量（96）的等距群变为：（99）
两个时空折叠是PT对称的。
请记住，安德烈·萨哈罗夫于1967年（参考文献[26]至[30]）首次提出一个宇宙可能由两个孪生宇宙组成，我们的和一个孪生的，具有“相反的时间”。后来，他提出孪生折叠可能是对映异构的。
14）宇宙时间t反转的物理意义。
这种时间反转令人困惑。这意味着当沿着测地线从一个折叠到另一个折叠时，时间标记t被反转。这是否意味着穿过这个超环面桥的“乘客”的时钟会被反转？
如前所述，一个“黑洞-白洞”对可能存在，其中“黑洞”位于孪生折叠中，“白洞”位于另一个。这意味着这个“测试乘客”可以进入第一个超环面桥并从第二个出来。他能回到他的空间起点并“杀死他的父亲”吗？
**
图16：一个（示意图）悖论性旅程。
**
答案是否定的，因为他的固有时的微小增量ds的符号在所遵循的测地线上不会改变。那么t的物理意义是什么？没有。它只是一个坐标。*
只有固有时才有物理意义。*
那么，反转这个时间坐标会有什么后果？
我们必须研究群在其动量空间上的共伴作用（参考文献[11]和[12]）。群的元素是（100）
这是一个两部分群（m = ±1），其维度为4。
逆矩阵为：（101）
计算李代数元素。写成：（102）
da = w d e = e
现在计算：dg' = g⁻¹ × dg × g（103）
是以下系统的解：（113）
S = 0
（114）
S* = 0
（系统（113）和（114）的一个稳定精确解见参考文献[16]）。我们现在可以用正质量（正能量和正压强）填充第一个时空折叠，对应于张量场T，而第二个用负质量（负能量）填充，并假设场依赖于这两个张量场，根据以下形式：（115）
S = c（T - T*）
（116）
S* = c（T* - T）
这对应于共轭几何：（117）
S* = -S
请注意，这绝不代表g* = -g！
张量T和T可以用质量密度ρ和ρ以及压强p和p*表示。
在这里，我们假设ρ、ρ*、p和p*都是正的，以表明“这是同一种物质”。负号表示“孪生物质”表现得像负质量（以及负能量和负压强）。这个场方程系统在以前的文章中已经提出并研究过（参考文献[13]至[15]）。
16）一个项目：超空间传输模型。
在参考文献中，已经提出了稳定耦合解[16]和非稳定均匀解([14]、[15]和[17])。我们打算构建系统（115）和（116）的非稳定和非均匀解。例如，考虑初始条件，物质存在于我们的时空折叠F中，第二个折叠F*是空的。相应的系统将是：（118）
S = c T（119）
S* = -c T
……这种系统的稳定解在之前的一篇文章中已经提出[16]。在这种情况下，物质只存在于折叠F中。它可能描述对应于在该折叠（我们的）中存在中子星的共轭几何，相邻的第二个（孪生）折叠F*部分是空的。最初，两个折叠是不连接的。在中子星之外，解满足：（120）
S = 0
（121）
S* = 0
……然后将物质倒入中子星，直到达到临界状态。专家们知道，临界状态的第一个症状是中子星中心的压强突然上升到无穷大（假设中子星是球对称的），根据托尔曼-奥本海默-沃尔科夫（TOV）模型（参考文献[1]，方程144.22）。我们认为这种上升会影响物理常数的局部值（光速、引力常数、质量）。最初由作者引入了“变量常数”模型（[18]、[19]、[20]和[14]）。后来，其他作者以略有不同的方式发展了这一新概念[17]。
……我们认为这将导致一个连接两个折叠的超环面桥的诞生。然后物质会（迅速地，以相对速度）从折叠F流到折叠F*，通过这个通道。如上所述，这种现象会反转质量，参见第14节，方程（110），因此非稳定解依赖于系统：（122）
S = c（T - T*）
（123）
S* = c（T* - T）
在“过程的中间”，T = T*。那么解满足：（124）
S = 0
（125）
S* = 0
……我们认为这就是施瓦茨希尔德几何的真实意义。它对应于一个属于非稳定过程的框架。
……这个非稳定解只是一个解决方案的设想。它尚未构建。我们不知道会有什么结果，也不知道整个过程会是什么样子。