20）关于嵌入与测地线的更多内容。
并非所有曲面都能嵌入三维欧几里得空间R³中。例如，考虑如下度量（134）：
其中 Rs > 0 且 r > 0
定义在 R 模 2 
上。
用这些特殊坐标 [ r , ] 表示，该线元在几乎所有地方都是正则的（仅在 r = 0 点除外）。其他位置均无问题。其等距群为 O₂。群的轨道是 r = 常数的圆周。我们可能设想该曲面可嵌入 R³ 中，在那里它将表现为绕 z 轴的轴对称图形。
存在 ( = 常数 ) 的测地线。我们可能会认为它们是曲面的“子午线”，并且像文章开头那样，可以构建此类子午线的方程 z( )。沿 ( = 常数 ) 的测地线有：（135）
如果该曲面能嵌入 R³，沿这些测地线有：（136）
由此可得：（137）
结论：该曲面无法嵌入 R³。
该度量（135）暗示了一种排斥作用。
所有由其度量定义的曲面并不都能嵌入。无论如何，这些曲面“存在”，即使我们无法用手触摸它们。考虑如下三维超曲面，由下式定义：（138）
其中 Rs > 0 且 r > 0
定义在 R 模 2 上。
我们无法嵌入这样的超曲面。但它确实存在，并具有“平面测地线”（ 
= /2）。
我们可以计算这些二维和三维超曲面的测地系统。我们可以在 (r, ) 平面上描绘它们。它们是真实的。（139）
其图形与之前由线元（134）定义的两个曲面完全相同。这两个几何对象都是单连通的。
图25：对应于线元（134）和（138）的测地线
（请注意，这类似于一种排斥作用。）
有些令人困惑。给定一个线元，我们可以计算其测地系统。例如，施瓦茨希尔德几何的经典表示对应的测地系统为：（140）
我们可以计算满足该微分方程的曲线 r( )。它们是实数，甚至在 r < Rs 的区域也成立！
图26：对应于施瓦茨希尔德线元的完整测地线。
我们理解了为何物理学家在看到这一奇怪结果后感到困惑。但有一个数学事实：一个线元可以产生一个实测地系统，其中某些部分对应于虚长度元素 ds。
那么物理学如何解释？我们将 ds 视为固有时增量。之前我们已决定认为虚数 ds 不对应于真实路径，这迫使我们必须重新审视超曲面的“局部拓扑”，将“局部球形拓扑”改为“局部超环面拓扑”。
在早期研究中，人们保留了“局部球形拓扑”的假设，这使得对施瓦茨希尔德球内部的物理解释变得困难。在参考文献[1]第6.8节中我们读到：
（在施瓦茨希尔德球内部）将 r 重新解释为时间标记，t 作为径向标记似乎很自然………这意味着沿该世界线有 ds² < 0。
21）克鲁斯卡尔的解析延拓。
在经典坐标系 [x°, r, , ] 中，光的径向速度为：（141）
因此当 r 趋近于 Rs 时，其值趋于零。克鲁斯卡尔的论点如下（参考文献[1]，第6.8节）：
施瓦茨希尔德坐标的一个不理想特征，我们可以通过如下方式消除：我们寻找一个变换，将 r 和 t 变为新变量 u 和 v，使得线元具有如下形式：（6.187）
……我们得到了适用于施瓦茨希尔德半径内部的合适变换：（6.204）
而在此球体外部：（6.201）
基本条件是 f 在施瓦茨希尔德球面 r = Rs 上必须正则。仍来自[1]：
因此 u 作为全局径向标记，v 作为全局时间标记。
此外，由（6.187）可知，零测地线（ds = 0）给出“光速恒定”：（142）
由（6.201）可知，当 r 趋于无穷时，f 趋于零，因此阿德勒、施菲弗和巴津在[1]中指出：
然而，它们并不对应于渐近距离处平坦空间的球坐标，正如施瓦茨希尔德坐标那样。
克鲁斯卡尔度量也是这些区域中爱因斯坦方程的非奇点解，与施瓦茨希尔德解等价，但在边界（施瓦茨希尔德球面）处没有奇点。这是一种流形的解析延拓。
克鲁斯卡尔关注的是这一边界问题，该边界变得非奇异，奇点集中于“几何中心”（f 趋于无穷大处）。继续引用[1]，我们复述关于向内传播光子径向轨迹的段落：
*用 u, v 表示，轨迹是简单的；但用 r 和 t 表示时，我们看到它始于某个有限的 r > Rs 和有限的 x°，向内移动至 r = Rs，而 x° 趋于无穷大，并穿过 x° = 无穷大的线进入施瓦茨希尔德球内部。之后，r 沿轨迹继续减小，但 x° 减小。……*当前处理也澄清了 x° 在施瓦茨希尔德球内部并非合理的时间标记。
我们看到“没有完美无缺”。通过其特殊的坐标选择，克鲁斯卡尔成功实现了穿过施瓦茨希尔德球的过程，将几何解的奇异性特征限制在“中心奇点”中。但度量在无穷远处不再保持洛伦兹形式。
这说明了坐标选择如何改变解的解释。我们的方法引入了“局部拓扑”的改变（超环面桥），但完全消除了所有奇点。
22）回到嵌入问题。
维纳-格劳斯坦定理指出：任何 n 维曲面（n > 2）都可以嵌入一个最小维度为（143）
的欧几里得空间中。对于四维超曲面，这对应于十维空间。我们知道施瓦茨希尔德几何的测地线位于平面内。 = p/2 对应其中一平面。因此我们可以专注于子集（ = p/2）的测地线。这些测地线依赖于两个参数 l 和 h。我们知道 l = 1 的测地线对应于在无穷远处速度为零的粒子。此外，选择子集（ = 常数）的测地线。则：（144）
引入一个额外坐标 z，并写为：（145）
ds² = dr² + dz²
（146）
一个微分方程，其解为：（147）
我们可以在三维空间 [z, r, ] 中描绘这些测地线。它们是轴对称曲面的子午线。
图27：在其中进行施瓦茨希尔德测地线（ = 常数）等距嵌入的曲面的子午线。
在三维空间中，该曲面如图28所示（半剖面）。
图28：嵌入曲面。
如果我们在此曲面上绘制“径向”测地线，得到图29。
图29： “径向”测地线的表示。底部：其在平面 [r, ] 上的投影。
这是一种非常局部的嵌入，因为它仅限于“径向”测地线集合。图29呈现出褶皱的形态，并暗示了对映性。事实上，考虑一组三个沿径向测地线运动的点，我们得到：
图30-a：三个质点沿“径向”路径向喉部下落。
以及：
图30-b：穿过喉部之后。
三角形被反转了。
在平面投影 [r, ] 上，三角形的方向被反转。现在想象四个测试粒子沿径向轨迹下落，朝向施瓦茨希尔德球，形成一个四面体。见图31。
图31：四个粒子在欧几里得三维空间中沿“径向”测地线落入施瓦茨希尔德球。
图32：在“弹跳”过施瓦茨希尔德球后，粒子进入对偶空间。四面体被反转（对映性）。
回到之前的表示。法向量也被反转了：
图33：一条特殊的 = 常数 测地线，在 (l = 1) 测地线集合中的表示，位于 (r, , z) 空间中。