- [r, j] 表示中的测地线。
将 (6) 代入 (14)，其中 dr = thr dr，得到：
(17)
这给出了测地线的 [r, j] 表示。当 r 趋于零时，dj/dr 趋于一个有限值，因此螺距角的切线：
(18)
在原点处趋于零。施瓦西喉圆的图像在这种表示中是一个锥点。
图4：图3所示的测地线，在 (r, j) 坐标系中。
穿过喉圆对应于 O 点
这是测地线的一种等距表示。
注意我们也可以用 [z, r, j] 表示来描绘曲面，但这不再是等距的。我们得到相关的子午线：
(19)
当 r 趋于零时，z(r) 是线性的。当它趋于无穷时，该函数趋于抛物线。
图5：曲面的子午线，在曲面的 [r, j] 非等距表示中。
施瓦西喉圆的图像在这种表示中是一个锥点。
- 推广到球对称三维超曲面。
这可以推广到由线元描述的三维超曲面：
(20)
该度规指涉一个三维超曲面，此处以 [r, q, j] 坐标系表示。变量 r 不是对应于“球坐标”的“径向距离”。我们在这个新线元中重新发现类似的病态，可以通过引入相同的坐标变换 (6) 来消除。
[r, q, j] → [r, q, j]
然后该线元变为：
(21)
其符号差变为 (+, +, +)，其行列式：
(22)
不再消失。
该超曲面的测地线位于平面中。q = p/2 是其中之一。在它们的 [r, j] 表示中，它们与图2中的测地线相同。等距群是 O3，相应的轨道是球面。其中，一个具有最小面积（这种三维环面桥的喉球面）。球面轨道的大圆不是测地线曲线，除了位于喉球面上的特殊测地线，其周长为 2pRs。这个特殊球面的测地线是唯一的闭合测地线。我们可以称这种特殊的几何为超环面几何。这个三维曲面不是单连通的。它拥有一个单一的三维折叠，可以看作是两个有界半三维折叠的集合，沿其球形边界（喉球面）粘合在一起。在远离这个“超环面桥”的地方，度规趋于欧几里得度规，此后用球坐标写出：
(23)
ds2 = dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2)
- 施瓦西几何。
经典地，人们认为其等距群是 SO3 × R，其中 R 指一维平移。然后人们说该度规是时间无关且球对称的，认为 R 对应于时间平移。
在 [x�, r, q, j] 坐标系中表示，其中 x� 是时间标记，线元为
(24)
经典地，人们写 x� = ct，这被假定定义了“外部观察者”的宇宙时间 t。当 r >> Rs 时，(21) 趋于闵可夫斯基度规。经典地，r 被等同于径向坐标。(21) 显示了 grr 项的不规则性以及当 r = Rs 时符号差的变化。
再一次，我们可以使用 (6) 坐标变换来正则化该度规，切换到 [t, r, q, j] 系统。然后线元变为：
(25)
O3 等距群的轨道是球面。在这个集合中，一个喉球面（施瓦西球面）具有最小面积。超曲面不是单连通的。它形成一个单一的时空折叠，可以看作是两个半四维时空折叠（孪生折叠）的集合，第一个对应于 r > 0，第二个对应于 r < 0，因此喉球面对应于 r = 0。我们可以计算位于 q = p/2 平面中的测地线。按照：“球坐标”：
图6：球坐标。
线元为 dr2 = r2 (dq2 + sin2q dj2)
圆 j = 常数是球面的测地线，但显然它们不代表曲面的所有测地线。只有经过两个对跖点（极点）的那些。
圆 q = 常数不是测地线，除了对应于 q = p/2（赤道）的那个。
在 [r � Rs, j] 坐标系中，这些（非零长度）测地线对应于：
(26)
常数集 [l, h] 的选择决定了测地线。其中我们找到类双曲线测地线，它们不与喉球面 r = Rs 相交。见图7。
图7：施瓦西几何。 [r, j] 表示中不与喉球面 r = Rs 相交的类双曲线平面测地线
我们也找到准椭圆测地线。见图8
图8：施瓦西几何。 [r, j] 表示中的准椭圆测地线。
现在让我们关注与 r = Rs 喉球面相交的测地线。在 [r, j] 表示中，称 a 为测地线切线与径向矢量之间的角度。
(27)
第一个拉格朗日方程给出：
(28)
对于 r � Rs 值，参数 l 严格为正。另一个拉格朗日方程是：
(29)
并给出角度 j 相对于固有时间 s 的单调演化。在这个 (q = p/2) 平面中，旋转取决于 h 的符号。
根据对施瓦西几何的这种新解释（被视为非单连通超曲面），我们可以在 [r, j] 表示中描绘测地线，如图9所示。
图9a： [r, j] 表示中与对应于 h � Rs 的喉球面（施瓦西球面）相交的测地线
测地线的一部分被画成虚线，因为它被假定属于第二个半三维折叠，沿喉球面（施瓦西球面）与第一个相连。它暗示了一个断裂。但后者是由于这种特殊的 [r, j] 表示系统，这对我们（可怜的）人类几何直觉更为熟悉。在三维表示空间中，我们得到图9b。粒子就像在施瓦西球面上“弹跳”。
图9b：在三维欧几里得表示空间中，粒子就像在施瓦西球面上弹跳。
从这个观点来看，“施瓦西球面内部什么都没有”，因为在这个“内部”我们只是“在超曲面之外”。回想喉球面，即施瓦西球面对应于 r = 0 值。第一个半折叠对应于 (r > 0)，第二个对应于 (r < 0)。
在 [r, j] 表示中，测地线的外观变得相当不同。让我们计算测地线与半径矢量之间角度 b 的切线（见图6）。
(30)
当 r 趋于 � 0 时 thr � r，因此：
(31)
在 [r, j] 表示中，从一个半折叠到另一个半折叠的测地线与径向矢量相切。在原点处不再有角度不连续性，后者是喉圆 (r = 0) 的图像。要获得这些测地线的完整描述，我们必须回到线元，如在 [t = x�/c, r, q, j] 坐标系 (24) 中所表达的，使用拉格朗日方程组，其中：
(32)
在这些方程中，我们找到：
(33)
对于给定的 h 值，j 的演化相对于固有时间 s 是单调的。
图10： [r, j] 表示中从一个半折叠 (r > 0) 到另一个半折叠 (r < 0) 的测地线。
如前所述，属于第二个三维半折叠的测地线部分被画成虚线。
我们不能像在论文开头对二维曲面所做的那样给出四维超曲面的嵌入。顺便说一句，我们处理的是四维测地线，不是三维的。[r, q, j] 和 [r, q, j] 空间只不过是表示空间，据信能使事情稍微清楚一些。真正的测地线内接于四维空间中。无论如何，[r, q, j] 表示暗示某种三维“超环面桥”，因此 [r, q, j] 表示暗示某种三维“超锥”。在这种二维曲面的第二种（三维）表示中，测地线从一个半折叠到另一个半折叠，经过 (r = 0) 点。这类似于二维锥。见图11
图11：锥的测地线。右：具有锥点的曲面。