- 时间标记的选择。
在对应于线元(25)的[ t , r , q , j ]坐标中，度规的行列式为：
(34)
当r变为零时，该行列式消失。无论如何，1924年，爱丁顿[10]证明了度规的零性是依赖于坐标的。让我们首先回到初始形式
(35)
强调坐标系的选择是纯粹任意的这一事实，因为度规作为张量形式方程
(36)
S
= 0
的解基本上是坐标不变的。我们决定粒子沿测地线运动。任意选择的坐标为这个几何解带来了物理意义。我们可以选择x� = ct，c为常数。但我们也可以选择另一个参考系。这取决于我们。对于所选择的时间标记x�或t、x，唯一的要求是度规应是渐近欧几里得的：
(37)
或：
(38)
如在笛卡尔坐标系中所表达的那样。记住，如果能找到一个坐标系使线元二次型具有常系数，则黎曼度规就是欧几里得的。符号的集合就是号差。
如果后者是( + - - - )，这就是闵可夫斯基度规。
(39)
被等同于一个基本距离，那么要求度规“在远距离处”渐近欧几里得似乎是一个合理的要求，无论对这种距离（r或r，如上所述）选择何种定义。
“宇宙时”或“空间标记”的定义仍然是一个完全自由的选择。反之，我们不能修改固有时s，或者更确切地说，不能修改流形上两个给定点之间的时间间隔Ds，因为它基本上是坐标无关的。此外，人们假设粒子可以沿给定的测地线双向运动。
图12：粒子沿给定测地线的运动。
试验粒子沿测地线的运动是一个现象。流形的另一条测地线被假定参照某个“静止的外部观测者”。但静止状态取决于坐标选择(x�, x1 , x2 , x3)，而这完全是任意的。
这个“外部观测者”被假定位于流形中度规为欧几里得或准欧几里得的部分，即具有形式(37)。那么静止条件意味着
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
对于这样一个静止状态观测者，任何固有时间隔都等同于相关联的任意选择的“宇宙时间隔”：
(41)
Ds
= Dx�
……宇宙时的选择是纯粹任意的，试验粒子在时间中的演化取决于这一选择。考虑给定测地线上的两点A和B，该测地线被假定参照一个外部观测者。这些点是时空事件。在图13中，虚线被假定参照恒定的宇宙时x�。
图13：“静止的外部观测者”“考察”试验粒子沿测地线的演化。宇宙时x�
现在考虑另一个宇宙时选择x。见图14。
图14：“静止的外部观测者”“考察”试验粒子沿测地线的演化。宇宙时x
让我们明确，虚线不是光子的路径。光子沿特殊的零测地线运动，这些测地线是坐标不变的。
我们仍然有Ds(O) = Dx� = Dx，但间隔Ds'(TP)和Ds"(TP)可能相当不同，尽管它们参照同一条测地线，因为对(A',B')和(A",B")可能不同。基本上，它们取决于所选择的时间坐标或“时间标记”。
- 爱丁顿的时间坐标变换及其扩展形式。
以下由爱丁顿于1924年引入的坐标变换是这一点的一个例证：
(42)
然后线元变为
(43)
由于gxx项在球面r = Rs上变为零，后者是一个无限红移面（如同经典史瓦西度规线元中那样）。矩阵变为：
(44)
其行列式为：
(45)
- r 4
sin2 q
不再消失，无论r值如何。由于稍后将解释的原因，让我们将此坐标变换扩展为：
(46)
用( x , r , q , j )坐标系表达，线元变为：
(47)
其行列式具有相同的形式(44)。注意爱丁顿的坐标变换对应于d = - 1值。
我们使用基于以下函数的拉格朗日方程来研究测地线：
(48)
其中：
此外，从线元表达式，我们经典地有，对于物质粒子(ds � 0)：
(49)
一个拉格朗日方程给出：
(50)
考虑平面测地线q = p/2，这给出：
(51)
沿测地线，相对于固有时s，j的演化是单调的。另一个拉格朗日方程给出：
(52)
即：
(53)
与(49)结合，令人惊讶地，d消失了：
(54)
注意，如果当r趋于无穷时dr = 0（零速度），则对应于l = 1。当r趋于无穷时，根据(53)：
(55)
如果l � 1，当r趋于无穷时，我们得到：
(56)
其中
我们得到
(57)
在[ r , j ]中，对于非零测地线(ds � 0)，我们重新找到了经典形式的微分表达式：
(58)
它提供了图7、8和9的图案。现在我们可以通过以下方式定义一个新的宇宙时：
(59)
x = ct
……线元(43)仍然是渐近欧几里得的。在“远距离处”，静止观测者的固有时Ds等同于间隔Dt。
- 径向路径的时间间隔。
我们可以通过微分方程计算沿测地线的非零质量粒子的时间间隔Dt = Dx/c：
(60)
对于“径向测地线”( h = 0 )：
(61)
靠近史瓦西球面，我们得到：
(62)
l = 1对应于速度在无穷远处趋于零的试验粒子。
考虑那个特殊情况：
(63)
由(54)
n = - 1对应于(dr < 0)路径。
n = +1对应于(dr > 0)路径。
……注意特殊的爱丁顿坐标变换（对于r � Rs）对应于d = + 1。当我们计算试验粒子相对于这个新宇宙时的径向旅行时间Dt时，我们发现后者取决于该运动的方向以及d的符号，即取决于乘积dn。当它为正时，试验粒子沿径向测地线(r � Rs)的旅行时间是有限的。当它为负时，这个旅行时间变为无限。
……作为第一个推论，如果应用于球对称黑洞模型，爱丁顿的坐标变换给出有限的自由下落时间Dt。当r = Rs时，粒子的速度变为：
(64)
一个向史瓦西球面下落的试验粒子以速度c到达它。
- 光速。
光子沿零测地线运动，对应于：
(65)
考虑速度：
(66)
由(65)我们得到：
(67)
当r趋于无穷时，vj趋于� c。
当dr < 0时，我们有n < 1。然后，当r = Rs时，对于(d r< 0)路径：
(68)
当一个试验粒子沿径向路径向史瓦西球面下落时，它以光速到达它。
总结：
(69)
(70)
考虑(dr > 0)或(d r< 0)路径，光速是不同的。
- 参考系拖曳效应。
考虑克尔度规：
(71)
其中r是不同于上述定义的空间坐标。我们只是复现参考文献[1]的方程7.110。
计算与圆相切运动(q = p/2, r = 常数)的光子速度(ds = 0)。我们得到：
(72)
即两个不同的值。这对应于方位角参考系拖曳，是克尔度规的一个性质。从参考文献[1]的7.7“克尔解与旋转”中我们读到：
克尔解的旋转性质产生了一个非常有趣的物理效应；沿测地线运动的物体受到一个与参数a成正比的力，令人联想到科里奥利力。粗略地说，我们可以把旋转源想象为“拖曳”着空间随之运动。在馬赫意义上，源在建立局部惯性系时与无穷远处的洛伦兹边界条件“竞争”。
用爱丁顿坐标重新表述，黑洞作为场的源，诱导了一种径向参考系拖曳。
- 黑洞与白喷泉。
在第4节中，我们提出了对史瓦西几何的一种新解释，其中史瓦西球面（见图9）表现得像一个喉球面，连接两个“半时空褶皱”。我们可以想象一个类似的结构，结合以下两个史瓦西几何：
(73)
(74)
这两个都源自(43)，第一个线元(73)对应于d = -1，第二个(74)对应于d = +1。连接不产生困难，因为d不出现在测地线的[ r, j ]表示的计算中。见方程(58)。我们得到一对“黑洞-白喷泉”，没有“中心奇点”。物质可以进入黑洞，但不能出去。在另一侧，物质可以流出白喷泉，但不能进入。在一个方向上通行时间是有限的，而沿另一个方向则是无限的。用新宇宙时x计算，有限的通行时间类似于用固有时s计算的时间。对于径向路径：
(75)
这个时间非常短。如本文所示，黑洞模型基于对坐标特别是宇宙时的特殊选择。如第6节所指出的，时间标记的选择是纯粹任意的。经典的选择给出一个准稳态系统，其中倒入黑洞的物质的下落相对于外部观测者“在时间中被冻结”。但本文表明，另一种源自爱丁顿思想的时间标记选择“解冻”了这一过程。从这个观点来看，黑洞或黑洞-白喷泉对不能作为永久物体存在，因为它们每毫秒可以吞下数十个太阳质量。因此仍然存在一个悬而未决的问题：
- 当中子星超过其稳定性极限时会发生什么？
- 表示空间。
在尝试提出一个替代模型方案之前，先谈谈我们可以称之为“表示空间”的东西。在本文开头，我们研究了一个由线元定义的二维曲面。似乎可以将这个曲面嵌入R3中，这给出了这个几何对象的等距表示。顺便提一下，我们提到了一个[r,j]表示。
不可能给出四维超曲面的明显表示，因为我们无法画出它并展示图形。但超曲面可以在许多表示空间中描绘，对应于各种坐标选择，因为该对象基本上是坐标不变的。例如，我们可以引入变换(6)。然后线元变为：
(76)
对于r > 0
以及：
(77)
对于r < 0。
“径向”测地线（例如q = p/2 , dj = 0）聚焦于系统的几何中心O（在这个特殊表示中）。这个点可比作一个“超锥点”。
在三维空间中关于一个点的对称是P对称。
在这个[ t , r , q , j ]中，史瓦西线元是P对称的。它也是时间无关的（通过时间平移不变，即对应于稳态），是T对称的，通过以下变换不变：
t � - t