- 等距群。
称 a 为一个三维旋转矩阵。写出：
(78)
SO3 x R 群的元素可由矩阵表示：
(79)
它是两个矩阵的乘积。第一个：
(80)
属于 SO3。
第二个：
(81)
属于 R 时间平移群。引入 P 和 T 对称性。我们得到一个四分量群，其元素为：
(82)
它是两个矩阵的乘积：
(83)
以及：
(84)
让我们称这第二个子群为 E1（一维欧几里得群）。
在 [ t , r , q , j ] 表示中，等距群是 O3 x E1
让我们回到 [t , r ,q, j] 坐标系中线元的表达式：
(85)
……经典地，人们认为相关的等距群是 SO3 x R，这并不是最大的群。它是 O3 x E1，因为线元在空间和时间反演下也不变。
现在，考虑以“扩展爱丁顿”形式表达的线元
(86)
我们将其写作：
(87)
引入笛卡尔空间坐标 [ x1, x2, x3]：
(88)
(89)
(90)
然后线元可以用 [x ,x1,x2,x3] 坐标表示。
(91)
现在我们在这个特殊坐标系中寻找度规的等距群。
我们首先有 P 对称性。
线元在以下变换下不变：
(92)
x1 �
- x1
x2 �
- x2
x3 �
- x3
它也在以下变换下不变：
(93)
x �
- x
d �
- d
以及通过时间平移：x = x + e。它对应于以下四分量群：
其元素是两个矩阵的乘积。第一组
(94)
对应于 O3，第二组构成第二个子群，其元素为：
(95)
称这第二个子群为“TF”。
那么 (86) 的等距群是：
O3 x TF
现在考虑以 [t = x/c , r , q , j ] 坐标系表达的史瓦西度规。我们可以将两个表达式 (76) 和 (77) 合并为：
(96)
记住 d = -1 负责半时空 r > 0，而 d = +1 负责第二个半时空 r < 0，如果我们认为“黑洞”位于我们的折叠中，而“白泉”位于“孪生折叠”中。
如果情况相反，即如果“黑洞”位于孪生折叠中，而“白泉”位于我们的折叠中，我们得到：
d = +1 负责半时空 r > 0
d = -1 负责半时空 r < 0
考虑第一种情况（“黑洞”在我们的宇宙中，“白泉”在孪生折叠中）。在那里，度规是：
(97)
改变：
r �
-r
t �
-t
d � -d
我们得到第二个度规：
(98)
注意当 r = 0 时行列式的零值将对应于在点 ( r = 0 ) 处空间（对映异构）和时间坐标的局部反演。实际上我们需要一个非零行列式来定义高斯坐标。见参考文献 [1] 2.4
如果行列式非零，就有可能定义一系列超曲面（x� 或 x，或 t = 常数）（对应于所选时间标记的常数值），与测地线 x� 或 x 或 t 坐标线（“稳态点”的“世界线”）正交。
图15：根据参考文献 [1] 的图 2.1
我们可以像之前一样用笛卡尔坐标表达 (97) 和 (98)，并重新找到 (92) 和 (93)。(96) 的等距群变为：
(99)
两个半时空折叠是 PT 对称的。
记住安德烈·萨哈罗夫是第一个在 1967 年（参考文献 [26] 至 [30]）提出一个宇宙可以由两个孪生宇宙组成的人，我们的宇宙和一个具有“相反时间”的孪生宇宙。后来他提出孪生折叠可能是对映异构的。
- 宇宙时间 t 反演的物理意义。
这种时间反演令人困惑。它意味着当一个人沿着测地线从一个折叠到孪生折叠时，时间标记 t 被反转。这是否意味着一个“乘客”穿过这个超环面桥时，他的时钟会被反转？
上面，我们说可能存在一对“黑洞 - 白泉”，其中“黑洞”位于孪生折叠中，而“白泉”位于另一个中。这将意味着这个“测试乘客”可以潜入第一个超环面桥并从第二个中升起。他能回到他的空间起点并“杀死他的父亲”吗？
图16：一个（示意性的）悖论之旅。
答案是否定的，因为他的固有时初等增量 ds 的符号在他所沿的测地线上不变。那么，t 的物理意义是什么？没有。它只是一个坐标。
只有固有时具有物理意义。
那么，这个时间坐标反演的后果是什么？
我们必须研究群在其空间动量上的余伴随作用（参考文献 [11] 和 [12]）。群的元素是
(100)
这是一个二分量群（ m = � 1 ），其维数为 4。
逆矩阵是：
(101)
计算李代数元素。写出：
(102)
da = w
d e = e
让我们计算：dg' = g-1 x
dg x
g
(103)
(104)
为了计算余伴随作用（见参考文献 [11]），引入标量：
(105)
如果满足以下条件，其不变性得到保证：
(106)
即：
(107)
该等同提供了群在其四分量动量上的余伴随作用：
(108)
( l , m )
记住动量的分量数等于群的维数。
(109)
(110)
m' = m m
我们可以将 m 等同于质量（或能量 E = mc2，无所谓）。(110) 意味着当一个粒子穿过“喉球”时，其质量被反转（m' = -m）。这并不令人惊讶，并给出了这个“时间坐标反演”的非常物理的意义。
……按照 J.M.Souriau [12]，我们可以称群的 (m = +1) 分量为“正时分量”，称 (m = -1) 为“反时分量”。反时分量的元素反转质量。时间对称等价于 m 对称，正如 J.M.Souriau 所示（[12] 第197页，时间和空间反演章节）。
- 后续耦合场方程。
我们从一个单个零第二成员场方程开始：
(111)
S = 0
它被假定来自一个完整的（爱因斯坦）方程：
(112)
S = c T
适用于真空（T=0）。我们可以假设完整几何可以由两个“共轭度规” g 和 g* 描述，从中我们可以构建两个爱因斯坦几何张量 S 和 S*。见参考文献 [13] 至 [15]。
如果两个半时空是空的，集合 ( g , g*) 是系统：
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
的解（系统 (113) 和 (114) 的一个稳态精确解在参考文献 [16] 中给出）。现在我们可以用对应于张量场 T 的正质量（正能量和压力）填充第一个时空折叠，用负质量（负能量）填充第二个，并假设场通过以下形式依赖于两个张量场：
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T*- T )
这对应于共轭几何：
(117)
S* = - S
注意这绝对不意味着 g* = - g ！
张量 T 和 T* 可以用质量密度 r 和 r* 以及压力 p 和 p* 表示。
这里我们认为 r、r*、p 和 p* 都是正的，以表明“这是同一种物质”。负号表示“孪生物质”表现得像负质量（以及负能量和压力）物质。这个场方程系统已在之前的论文中提出并研究（参考文献 [13] 至 [15]）。
- 一个项目：超空间转移模型。
在参考文献论文中，已经提出了稳态耦合解 [16] 和非稳态均匀解（[14]、[15] 和 [17]）。我们打算构建系统 (115) 加 (116) 的非稳态和非均匀解。例如，考虑物质存在于我们的时空折叠 F 中，第二个 F* 为空的初始条件。相应的系统将是：
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
……这种系统的稳态解已在之前的论文 [16] 中提出。在这种条件下，物质只存在于折叠 F 中。它可以描述对应于这个折叠（我们的折叠）中存在一颗中子星的共轭几何，第二个（孪生）折叠 F* 的相邻部分为空。最初，两个折叠没有连接。在中子星外部的解服从：
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
……然后物质被倒入中子星，直到临界。专家们知道临界的第一症状是（假设球对称）中子星中心的压力突然升至无穷大，根据 Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) 模型（参考文献 [1]，方程 144.22）。我们认为这种上升作用于物理常数的局部值（光速、引力常数、质量）。具有“可变常数”的模型最初由作者们引入（[18]、[19]、[20] 和 [14]）。后来，其他作者以某种不同的方式发展了这个新概念 [17]。
……我们认为这将导致一个连接两个折叠的超环面桥的诞生。然后物质将（迅速地，以相对论速度）通过这个通道从折叠 F 流向折叠 F*。如上所示，这种现象反转质量，见第14节，方程 (110)，因此非稳态解依赖于系统：
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T*- T )
在“过程的中途” T = T*。然后解服从：
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
……我们认为这是史瓦西几何的真正意义。它将对应于属于一个非稳态过程的参考系。
……这个非稳态解只是一个解的方案。它尚未被构建。我们不知道会从中产生什么，整个过程会是什么样子。