环面的翻转
2004年12月9日
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环面的非平凡翻转
J.P.Petit：
《科学院通报》
第293卷，1981年10月5日会议，第1辑，第269-272页
我只打算展示这一系列图，不作评论。
环面的非平凡翻转。变换的第一部分
环面的非平凡翻转。变换的第二部分
当进行到图v时，可以看到此时很容易使灰色结构和玫瑰色结构重合，从而把这个对象变成克莱因瓶的二重覆盖。
翻转于是通过交换相对的层来实现。下面是同一幅图，带有颜色编码。
克莱因瓶的二重覆盖，带颜色编码
（这幅图不属于我提交给法国国家科研中心的年度报告。它见于《Topologicon》）
不同族的环面。
斯蒂芬·斯梅尔在1957年所证明的是，球面的浸入只有唯一一族，而且所有这些浸入都可以通过同伦彼此相连。它们构成一个群，其中性元素就是让对象保持原状。人们于是问，对环面是否也会如此。数学家伊万·詹姆斯和埃默里·托马斯表明，环面的浸入分为四块“大陆”，无法借助正则同伦从一块到达另一块。
四族环面
画在纸中央的“标准环面”与b中所绘对象属于同一族。这正是我在1980年发明的环面翻转版本中顺带展示的内容。a中所提到的那一族表示一个经历了360°扭转的环面。它看起来像标准环面，但两者都是通过各自的制图系统、借助两族曲线来定义的。在标准环面中，人们使用两组圆，把它们分别视为经线和纬线。对于环面a，则应当用第二族圆来补全贴在其上的那族圆，而第二族圆朝相反方向扭转。于是可以表明，无法借助正则同伦使这个环面a的网格与标准环面的网格（经线圆加纬线圆）重合。正是在这个意义上，它们是不同的对象。所有这些对象显然都可以按克莱因瓶的二重覆盖来配置。
几何学家工具的力量在于能够预测什么是可能的、什么是不可能的。
把标准环面变成图b中的环面：可以。
从c过渡到d：不可以。
这可以避免愚蠢地浪费时间，尤其还能促使人们去研究那些绝非显而易见的事情，比如翻转一个球面。所有科学中都是如此。人们有时会与富有成果的路径擦肩而过，长达数年甚至数百年，仅仅因为他们认为这些路径不可能实现。我花了自己生命中的几年时间，借助拉普拉斯力场、即“磁流体力学”，构建一种消除物体在气体中以超音速运动时周围激波的理论。一名学生甚至在我的指导下就此主题完成了博士论文，我们也在不同的同行评审期刊和科学会议上发表了这些工作。这是一个三十年后才刚刚开始浮出水面的主题。人们猜测美国人可能拥有能够以10马赫飞行而不产生激波的高超音速飞机（尤其是不会承受这些“音爆”后方空气再压缩所带来的巨大热应力）。这就是著名的“极光”神话，一种在产生北极光的高度、即海拔80至150公里之间巡航的飞行器。极光也是未来航天运载器的预想形态，它们依托空气，将比法国国家空间研究中心的火箭经济得多。在法国，启动这类研究曾是不可能的（我在1975年就有了这些想法），因为人们，尤其是法国国家科研中心的人，认为它们完全不合理。结果是相对于美国落后三十年，在我看来完全无法追赶。
烟草袋
为求完整，还应提到那些以烟草袋为中心对象的球面翻转版本。在我年轻时，这是一种常见物品，但今天大概已经很难见到了。最早画出这些序列的是乔治·弗朗西斯。几年来，我一直在研究这些版本的多面体版本，已经做出了一个相当漂亮的中心模型。但为了向你们展示它，我还得设法把它重新找出来。希望很快能找到，因为这是我创造过的最迷人的对象之一。
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