球面翻转与克莱因瓶的浸入

球面翻转

2004年12月7日

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引言。

在接下来的内容中，我们将考虑封闭曲面，如球面、环面和其他一些曲面。这些曲面在我们日常生活中所理解的意义上，即它们是二维物体，被表示在三维欧几里得空间R3中，也就是我们心理上所想象的空间。这些曲面可以有多种表示方式。如果它们不与自身相交，我们称它们为“嵌入”（在R3中）。如果它们相交，那么我们称之为“浸入”，这种相交将表现为一个“自相交集”（self-intersection）。

在我们的嵌入中，我们假设切平面连续变化，并且曲面没有像圆锥顶点那样的奇点。我们的曲面是“正则”的。

在浸入的情况下，我们要求在自相交线上的两条相交曲面的切平面是不同的。

数学家所理解的几何世界与物理世界非常不同。表面可以自我穿越这一点并不困扰他。物理世界不允许这样的事情。但在形而上的世界中，这是可能的。因此在圣经中提到，当死者复活时，他们将以“荣耀的身体”出现。他们可以穿过任何东西，并且原则上能够自我穿越。因此，当最后审判的时刻到来时，如果你以荣耀的身体在罗马漫步，你迷路了，正在寻找纳沃纳广场，你可能会想向另一个复活的、外表与你一样的人问路。假设你问路的人正朝着与广场相反的方向走。在普通的物理空间中，为了给你指明正确的方向，他必须转身，让他的手指指向那个方向。但如果他以荣耀的身体行走，就不需要这种旋转了。他可以将他的食指指向他的肚脐并穿过自己。当他的手从他的背部出现时，他只需告诉你“往那边走”。通过将手臂穿过他的腹部，他会在他的身体外壳中产生一个由两个圆组成的自相交集，当恢复到正常状态时，这个自相交集就会消失。

如果一个人闭上嘴，用夹子夹住鼻子，同时忽略他其他的自然孔洞，他的身体外壳就具有S2球面的拓扑结构。想象一个以荣耀身体复活的生物，其自然孔洞被堵住了。我们知道他可以自我穿越，也就是说，他的身体外壳可以从一种嵌入状态变为一种浸入状态。一个形而上的问题随之而来：一个以荣耀身体复活的人是否能够翻转自己，而不产生褶皱。

顺便提一下，魔术师知道如何使用“魔法圆环”，这些圆环可以“神奇地”相互穿透。我们可以想象用一种“魔法网格”来表示曲面，如这里用黑色和粉色表示的两层，可以毫无困难地相互穿透。

魔法网格

无论如何，我们必须承认，数学和魔术之间往往并没有太多区别。二十年前我创作了一部漫画：《拓扑奇境》。现在这部漫画已经绝版，很难找到，除非作为收藏品。在其中一页上可以看到：

很遗憾，Belin出版社决定放弃这个系列。必须承认，以不到一欧元的制作成本，以13欧元（加上邮费）的价格出售，除了带来12欧元的利润，即售价的92%以上的利润外，这并不是一种明显的商业策略，尤其是对于黑白印刷的漫画。

考虑一个嵌入在R3中的球面S2。我们假设其外表面是灰色的，内表面是旧粉红色的。我们可以按压两个对点，我们随意地称之为“北极”和“南极”，直到它们接触成一个点。例如，我们可以用一个甜甜圈来做到这一点。当处理一个数学上的甜甜圈（我们不知道甜甜圈是否以荣耀身体复活）时，这两个极区在接触成一个点后，可以通过一条自相交曲线（影响成一个圆）自我穿透。预先说明，我们说这个表面经历了一种类型的“D0”灾难。

然后，人们可能会尝试继续这个操作，以翻转甜甜圈或球面。但这时会出现一个褶皱，它会退化成一个难看的折痕，或者更准确地说，是一个折曲面（图d）。

在五十年代末，一个重要的问题是，是否可以在不产生褶皱的情况下翻转形而上的甜甜圈仍未解决。事实上，大家都认为这是完全不可能的。但1957年，一位数学家斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）（他获得了菲尔兹奖，但这是因为他做了一个完全不同的工作）证明了S2球面在R3中的不同浸入构成一个单一的集合，并且总是可以找到一系列连续的浸入变形（也称为正则同伦），从而从一种状态转换到另一种状态。其推论是，我们可以通过一系列连续的浸入，从标准球面S2的嵌入转换到反向嵌入。用更简单的话来说：只要允许球面自己翻转，就可以在不产生褶皱的情况下翻转球面。

斯梅尔的导师是Raoul Bott。他问他的学生应该如何操作，斯梅尔回答说他完全不知道，但他的定理是完全不可动摇的。斯梅尔根本看不见空间，但他并不在意（就像许多几何学家一样）。而且，如果坦率地说，在证明了他的定理之后，他完全不在乎如何具体实现这个操作，而是急着去研究其他问题，让他的数学家同事们感到非常困惑。我觉得这样制造问题然后让别人在十年后自己去解决，这不太友善。

必须承认，想象浸入在脑海中是相当困难的。然而，我们知道有些曲面只能以这种方式在R3中表示。例如克莱因瓶。

克莱因瓶

这里用由两组闭合曲线组成的网格-坐标系统来表示，就像环面一样。因此，我们可以用网格表示一个克莱因瓶而不产生网格奇点。但如你所见，这个表面必须沿着一条闭合曲线（一个圆）自我穿越。因此，我们无法……