球面翻转与克莱因瓶的浸入

球面翻转

2004年12月7日

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引言。

在接下来的内容中，我们将考虑封闭曲面，如球面、环面和其他一些曲面。这些曲面在普通人眼中就是曲面，也就是说，它们是二维物体，被表示在三维欧几里得空间R3中，也就是我们心理上所想象的空间。这些曲面可以有多种表示方式。如果它们不与自身相交，那么我们称它们为“嵌入”（在R3中）。如果它们相交，那么我们称其为“浸入”，这种相交则表现为一个“自相交集”（self-intersection）。

在我们的嵌入中，我们假设切平面是连续变化的，并且曲面没有像圆锥顶点那样的奇点。我们的曲面是“正则”的。

在浸入的情况下，我们要求在自相交线处，相交的两片曲面的切平面是不同的。

数学家所设想的几何世界与物理世界非常不同。表面可以自我穿过这一点对他来说完全不成问题。物理世界不允许这种事。但在形而上的世界中，这却成为可能。例如，在《圣经》中提到，当死者复活时，他们将以“荣耀之躯”的形式出现。他们那时可以穿过任何东西，原则上也能够穿过自己。因此，当最后审判之时，如果你以荣耀之躯漫步在罗马，而你迷路了，正在寻找纳沃纳广场，你可能会想向另一个同样外表的复活者问路。假设你问的那个人正朝与广场相反的方向走。在普通的物理空间中，为了指给你正确的方向，他必须转身，让他的手指指向那个方向。但如果他是以荣耀之躯行走，他就不需要转身了。他可以将食指指向自己的肚脐，穿过自己。当他的手从背后出现时，他只需告诉你“就是那边”。他将手臂穿过自己的腹部，这样在他的身体表面就形成了一个由两个圆组成的自相交集，当他恢复到正常状态时，这个自相交集就会消失。

如果一个人闭上嘴，用夹子夹住鼻子，忽略他其他的自然孔洞，那么他的身体外壳就具有S2球面的拓扑结构。想象一个以荣耀之躯复活的人，他的自然孔洞也被堵住了。我们知道他可以穿过自己，也就是说，他的身体外壳可以从一种嵌入状态变为一种浸入状态。当时提出的一个形而上问题就是：一个以荣耀之躯复活的人是否能够翻转自己，而不产生褶皱。

顺便说一句，魔术师知道如何使用“魔法圆环”，这些圆环可以“神奇地”互相穿透。我们可以想象用一种“魔法网格”来表示曲面，这样图中黑色和粉色的两片曲面就可以毫无困难地相互穿过。

魔法网格

不管怎样，必须承认数学和魔术之间往往差别不大。二十年前我创作了一部漫画《拓扑国》，现在已经绝版，只能作为收藏品才能找到。在其中一页上可以看到：

很遗憾，Belin出版社决定放弃这个系列。必须承认，以不到一欧元的制作成本，以13欧元（加上邮费）的价格出售，每本利润达到12欧元，即利润占售价的92%以上，这显然不是一种很明显的商业策略，特别是对于黑白印刷的漫画。

考虑一个嵌入在R3中的球面S2。我们假设它的外表面是灰色的，内表面是旧粉红色的。我们可以按压两个对称点，我们随意称其为“北极”和“南极”，直到它们接触成一个点。例如，我们可以用一个甜甜圈来实现这一点。当处理一个数学意义上的甜甜圈（我们不知道甜甜圈是否也会以荣耀之躯复活）时，这两个极区在接触成一个点后，可以沿着一条自相交曲线（形成一个圆）相互穿过。我们提前说明，这种表面经历了一种“D型灾难”。

然后，人们可能会尝试继续这个操作，翻转甜甜圈或球面。但这时会出现一个褶皱，最终变成一个难看的折痕，或者更准确地说，是一个回折面（图d）。

在50年代末，一个严重的问题是：是否可以在不产生褶皱的情况下翻转一个形而上的甜甜圈，这个问题仍未解决。事实上，大家都认为这是完全不可能的。但1957年，一位数学家斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）（他获得了菲尔兹奖，但那是为另一项工作）证明了S2球面在R3中的不同浸入构成一个单一的集合，并且总是可以找到一系列连续的浸入变形（也称为正则同伦），从而从一种状态转换到另一种状态。其推论是，我们可以通过一系列连续的浸入，从标准球面嵌入转换到反向嵌入。用更简单的话来说：只要允许球面自己翻转，就可以在不产生褶皱的情况下翻转球面。

斯梅尔的导师是拉乌尔·博特（Raoul Bott）。他问他的学生应该怎么做，斯梅尔回答说他完全不知道，但他的定理是完全不可攻击的。斯梅尔根本看不见空间，但他对此毫不在意（就像许多几何学家一样）。而且，如果坦率地说，他在证明了定理之后，对如何实现这个过程的方式毫不在意，很快就转向了另一个主题，让他的数学家同事们感到非常困惑。我觉得这样做不太友善，因为这样制造了问题，然后让别人在十年后自己去解决。